3.2. TRAJECTOIRES BRISÉES
59
a
c
b
ψ([0, δ[)
λ 1
λ 2
S + (c)
Figure 5
respectivement. On utilise les notations définies plus haut, à savoir
S + (c) = W
s (c) ∩ f
−1 (α + ε) ∼ = S
n−k−1
S − (c) = W
u (c) ∩ f
−1 (α − ε) ∼ = S
k−1 .
Soit a 1 = S + (c) ∩ λ 1 . La variété instable W
u (a) rencontre f
−1 (α + ε) transversalement le long d’une sous-variété P de dimension k. Comme X satisfait
à la propriété de Smale, P coupe S + (c) transversalement en un nombre fini
de points, dont le point a 1 . Soient
D
k (δ) = {(x 1 , . . . , x k ) | |x < δ}
et Ψ : (D
k (δ), 0) → (P, a 1 ) un paramétrage local de P tels que
Im Ψ ∩ S + (c) = {a 1 } .
On peut supposer que D = Im Ψ est contenu dans ∂ + Ω(c). Le disque D est
représenté en grisé sur la figure 6. En faisant descendre D − {a 1 } le long des
trajectoires de X, on obtient un plongement
Φ : D − {a 1 } −→ ∂ − Ω(c).
L’image de Φ est la couronne grisée représentée sur la figure 6
(3) (sur cette
figure, S − (c) est le bord intérieur de la couronne grisée). On montre :
(3) Cette figure est le cœur même de la démonstration.