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CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
Remarquons aussi que, comme le suggère la notation, L(a, b) est bien
une compactification de L(a, b), au sens où, arbitrairement près de tout
élément de L(a, b), il y a des éléments de L(a, b). C’est une conséquence de la
proposition ci-dessous, qui est elle-même conséquence des arguments utilisés
dans la démonstration du théorème de compacité (à savoir le théorème de
Cauchy-Lipschitz).
Proposition 3.2.5. Soit λ = (λ 1 , λ 2 ) ∈ L(a, b), avec λ 1 ∈ L(a, c), λ 2 ∈ L(c, b).
Pour tous U
− , U
+ , il existe
∈ L(a, b) ∩ W(λ, U
− , U
+ ).
Dans le paragraphe suivant, on précise cette remarque.
3.2.c. Structure de variété à bord de l’espace des trajectoires
brisées. Le théorème qui suit implique que ∂ X ◦ ∂ X = 0.
Théorème 3.2.6. Si Ind(a) = Ind(b) + 2, L(a, b) est une variété à bord compacte de dimension 1.
Nous savons déjà que L(a, b) est une variété de dimension 1 (en application de la condition de Smale). Le théorème est donc conséquence de la
proposition suivante.
Proposition 3.2.7. Soient V une variété compacte, f : V → R une fonction
de Morse et X un pseudo-gradient pour f satisfaisant à la propriété de
Smale. Soient a, c et b trois points critiques d’indices respectifs k + 1, k,
k − 1. Soient λ 1 ∈ L(a, c) et λ 2 ∈ L(c, b). Il existe un plongement continu ψ,
différentiable sur ]0, δ[, d’un intervalle [0, δ[ sur un voisinage de (λ 1 , λ 2 )
dans L(a, b) tel que
ψ(0) = (λ 1 , λ 2 ) ∈ L(a, b)
ψ(s) ∈ L(a, b) pour s = 0.
De plus, si ( n ) est une suite dans L(a, b) qui tend vers (λ 1 , λ 2 ), alors n
est dans l’image de ψ pour n assez grand.
Remarque 3.2.8. La dernière assertion est indispensable pour démontrer
le fait que (λ 1 , λ 2 ) est bien un point du bord : il n’y arrive pas plusieurs
branches !
Démonstration. On pose f (c) = α et on choisit ε > 0 tel que f
−1 (α + ε) et
f
−1 (α − ε) rencontrent la carte de Morse Ω(c) le long de ∂ + Ω(c) et ∂ − Ω(c)
CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
Remarquons aussi que, comme le suggère la notation, L(a, b) est bien
une compactification de L(a, b), au sens où, arbitrairement près de tout
élément de L(a, b), il y a des éléments de L(a, b). C’est une conséquence de la
proposition ci-dessous, qui est elle-même conséquence des arguments utilisés
dans la démonstration du théorème de compacité (à savoir le théorème de
Cauchy-Lipschitz).
Proposition 3.2.5. Soit λ = (λ 1 , λ 2 ) ∈ L(a, b), avec λ 1 ∈ L(a, c), λ 2 ∈ L(c, b).
Pour tous U
− , U
+ , il existe
∈ L(a, b) ∩ W(λ, U
− , U
+ ).
Dans le paragraphe suivant, on précise cette remarque.
3.2.c. Structure de variété à bord de l’espace des trajectoires
brisées. Le théorème qui suit implique que ∂ X ◦ ∂ X = 0.
Théorème 3.2.6. Si Ind(a) = Ind(b) + 2, L(a, b) est une variété à bord compacte de dimension 1.
Nous savons déjà que L(a, b) est une variété de dimension 1 (en application de la condition de Smale). Le théorème est donc conséquence de la
proposition suivante.
Proposition 3.2.7. Soient V une variété compacte, f : V → R une fonction
de Morse et X un pseudo-gradient pour f satisfaisant à la propriété de
Smale. Soient a, c et b trois points critiques d’indices respectifs k + 1, k,
k − 1. Soient λ 1 ∈ L(a, c) et λ 2 ∈ L(c, b). Il existe un plongement continu ψ,
différentiable sur ]0, δ[, d’un intervalle [0, δ[ sur un voisinage de (λ 1 , λ 2 )
dans L(a, b) tel que
ψ(0) = (λ 1 , λ 2 ) ∈ L(a, b)
ψ(s) ∈ L(a, b) pour s = 0.
De plus, si ( n ) est une suite dans L(a, b) qui tend vers (λ 1 , λ 2 ), alors n
est dans l’image de ψ pour n assez grand.
Remarque 3.2.8. La dernière assertion est indispensable pour démontrer
le fait que (λ 1 , λ 2 ) est bien un point du bord : il n’y arrive pas plusieurs
branches !
Démonstration. On pose f (c) = α et on choisit ε > 0 tel que f
−1 (α + ε) et
f
−1 (α − ε) rencontrent la carte de Morse Ω(c) le long de ∂ + Ω(c) et ∂ − Ω(c)