3.2. TRAJECTOIRES BRISÉES
57
Ainsi n X (a, b) ∈ Z/2 est bien défini. Ce corollaire est immédiat : L(a, b) =
L(a, b) dans ce cas et ce dernier, qui est une variété de dimension 0, est
maintenant compact.
Démonstration du théorème. Soit ( n ) une suite de trajectoires dans L(a, b).
On suppose pour commencer que n ∈ L(a, b). La trajectoire n sort de
Ω(a) par un point
−
n et entre dans Ω(b) par un point
+
n . Le point
−
n est
dans l’intersection de la variété instable de a et du bord de Ω(a), une sphère,
donc compacte. Quitte à extraire une sous-suite, on peut donc supposer que
lim
−
n = a
−
et lim
+
n = b
+ .
Soit γ(t) = ϕ
t
X (a
− ) la trajectoire de a
− et soit c 1 = lim t→+∞ γ(t), de sorte
que c 1 est un point critique et que γ ∈ L(a, c 1 ). Soit d
+ le point par lequel γ
entre dans Ω(c 1 ) (figure 4). Grâce au théorème de dépendance des conditions
initiales pour les solutions d’équations différentielles, n doit aussi (au moins
si n est assez grand) entrer dans Ω(c 1 ), par un point d
+
n (et lim d
+
n = d
+ ).
a
c 1
γ
a
−
Ω(a)
Ω(c 1 )
n
d
+
Figure 4
Si c 1 = b, on a ainsi lim n = γ et la suite n a une sous-suite convergente.
Sinon, c’est que d
+
n n’est pas dans la variété stable de c 1 , donc n sort de
Ω(c 1 ) par un point d
−
n . On peut supposer que la suite des d
−
n converge vers
un point d
− , qui est dans la variété instable de c 1 et on peut faire le même
raisonnement et conclure.
Il reste à considérer le cas général d’une suite d’éléments de L(a, b). Il
existe des points critiques c 1 , . . . , c q−1 , tels que, pour n assez grand et à
extraction d’une sous-suite près,
n = (
1
n , . . . , ,
q
n ) ∈ L(a, c 1 ) × · · · × L(c q−1 , b).
On applique le résultat précédent à
1
n , puis à
2
n , . . . , ,
q
n .
57
Ainsi n X (a, b) ∈ Z/2 est bien défini. Ce corollaire est immédiat : L(a, b) =
L(a, b) dans ce cas et ce dernier, qui est une variété de dimension 0, est
maintenant compact.
Démonstration du théorème. Soit ( n ) une suite de trajectoires dans L(a, b).
On suppose pour commencer que n ∈ L(a, b). La trajectoire n sort de
Ω(a) par un point
−
n et entre dans Ω(b) par un point
+
n . Le point
−
n est
dans l’intersection de la variété instable de a et du bord de Ω(a), une sphère,
donc compacte. Quitte à extraire une sous-suite, on peut donc supposer que
lim
−
n = a
−
et lim
+
n = b
+ .
Soit γ(t) = ϕ
t
X (a
− ) la trajectoire de a
− et soit c 1 = lim t→+∞ γ(t), de sorte
que c 1 est un point critique et que γ ∈ L(a, c 1 ). Soit d
+ le point par lequel γ
entre dans Ω(c 1 ) (figure 4). Grâce au théorème de dépendance des conditions
initiales pour les solutions d’équations différentielles, n doit aussi (au moins
si n est assez grand) entrer dans Ω(c 1 ), par un point d
+
n (et lim d
+
n = d
+ ).
a
c 1
γ
a
−
Ω(a)
Ω(c 1 )
n
d
+
Figure 4
Si c 1 = b, on a ainsi lim n = γ et la suite n a une sous-suite convergente.
Sinon, c’est que d
+
n n’est pas dans la variété stable de c 1 , donc n sort de
Ω(c 1 ) par un point d
−
n . On peut supposer que la suite des d
−
n converge vers
un point d
− , qui est dans la variété instable de c 1 et on peut faire le même
raisonnement et conclure.
Il reste à considérer le cas général d’une suite d’éléments de L(a, b). Il
existe des points critiques c 1 , . . . , c q−1 , tels que, pour n assez grand et à
extraction d’une sous-suite près,
n = (
1
n , . . . , ,
q
n ) ∈ L(a, c 1 ) × · · · × L(c q−1 , b).
On applique le résultat précédent à
1
n , puis à
2
n , . . . , ,
q
n .