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CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
a
b
U
−
0
c i
U
+
i
U
−
i
U
+
q
λ
Figure 3
Remarques 3.2.1. Dans cette définition, k ≤ q (la trajectoire μ n’est pas plus
brisée que λ). De plus, si λ est une trajectoire de X allant de a à b, alors une
base de voisinages de λ est formée de l’ensemble des trajectoires joignant a
à b et qui sortent de Ω 0 et entrent dans Ω q assez près de λ. Il est clair que
la topologie ainsi définie coïncide avec la topologie de L(a, b) (définie plus
haut comme quotient de l’ensemble des points sur les trajectoires par les
translations).
3.2.b. Compacité. On démontre maintenant :
Théorème 3.2.2. L’espace L(a, b) est compact.
Remarque 3.2.3. La topologie définie sur l’espace L(a, b) l’est à l’aide de la
topologie de V . Il est donc clair qu’elle admet une base dénombrable de voisinages et il est légitime de démontrer la compacité en utilisant un argument
séquentiel (elle est d’ailleurs métrisable). Les puristes remarqueront aussi
que l’on n’utilisera, de la compacité de cet espace, que cette propriété des
suites.
Corollaire 3.2.4. Si Ind(a) = Ind(b) + 1, l’espace L(a, b) est un ensemble fini
de trajectoires.