3.2. TRAJECTOIRES BRISÉES
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3.2. Espace des liaisons entre deux points critiques, ou des
« trajectoires brisées »
3.2.a. Espace des trajectoires brisées. Si a et b sont deux points critiques de f , on a appelé L(a, b) l’ensemble des trajectoires du champ X
qui vont de a à b. On définit maintenant l’espace des trajectoires brisées
de a à b,
L(a, b) =
ci∈Crit(f )
L(a, c 1 ) × · · · × L(c q−1 , b).
Rappelons que l’indice décroît le long des trajectoires de X ; donc seuls
interviennent des L(c i , c i+1 ) avec Ind(c i ) > Ind(c i+1 ).
Comme le suggère la notation, cet espace a vocation à être une compactification de L(a, b). La première chose à faire est de le munir d’une topologie.
Bien entendu il faudra que celle-ci induise la topologie produit sur chacun
des termes de la réunion. Dans l’exemple décrit par la figure 1, L(a, b) est un
intervalle ouvert, L(a, c 1 ) et L(c 1 , b) sont des points, de même que L(a, c 2 )
et L(c 2 , b). On espère bien sûr munir l’espace L(a, b) d’une topologie qui en
fasse un intervalle fermé. Voir la figure 2.
L(a, c 1 ) × L(c 1 , b)
L(a, b)
L(a, c 2 ) × L(c 2 , b) =
L(a, b)
∪
∪
Figure 2
Soit donc λ = (λ 1 , . . . , λ q ) une trajectoire brisée. Elle joint un certain
nombre de points critiques. Chacun d’eux possède un voisinage de Morse
noté Ω(c i ). La trajectoire λ i sort de Ω(c i−1 ) pour entrer dans Ω(c i ). Appelons U
−
i−1 un voisinage, dans son niveau, du point de sortie de Ω i−1 et de
même U
+
i un voisinage dans son niveau du point d’entrée dans Ω i . Voir la
figure 3.
On note U
− (resp. U
+ ) la collection des U
−
i (resp. des U
+
i ) et on dit que
μ = (μ 1 , . . . , μ k ) ∈ W(λ, U
− , U
+ ) s’il existe des entiers
0 < i 0 < · · · < i k−1 < i k = q
tels que
– pour tout j ≤ k, μ j ∈ L(c ij , c ij+1 ),
– et μ j sort de la carte Ω(c ij ) par l’intérieur du U
− correspondant et
entre dans Ω(c ij+1 ) par l’intérieur du U
+ .
Les W(λ, U
− , U
+ ) forment une base de voisinages pour une topologie sur
L(a, b).