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CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
de sorte que
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
H 0 = Z/2
H 1 = 0
H 2 = Z/2.
Même si le complexe était assez différent, son homologie est la même.
Le tore. Considérons maintenant la fonction cos(2πx)+cos(2πy) sur le tore.
On a C 0 = Z/2 engendré par a, C 1 = Z/2 ⊕ Z/2 engendré par b et c, et
C 2 = Z/2 engendré par d. Les différentielles sont
∂d = 2b + 2c = 0, ∂b = ∂c = 2a = 0.
Ainsi l’homologie modulo 2 est
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
H 0 = Z/2
H 1 = Z/2 ⊕ Z/2
H 2 = Z/2
(ce qui est bien l’homologie du tore T
2 ). Les lecteurs devraient démontrer
que le complexe associé à la fonction hauteur et au champ de vecteurs décrit
par la figure 27 du chapitre précédent a la même homologie.
L’espace projectif complexe. Là, il n’y a que des points critiques d’indice
pair et un en chaque dimension, les C k valent Z/2 si k est pair ≤ 2n et 0
sinon. Toutes les différentielles sont nulles et l’homologie du complexe est
H =
Z/2 si = 2k avec k ≤ n,
0
sinon.
Le plan projectif réel. Ici, C 0 = Z/2 engendré par a, C 1 = Z/2 engendré
par b et C 2 = Z/2 engendré par c. On a ∂c = 0 et ∂b = 0, de sorte que
H =
Z/2 si 0 ≤ ≤ 2
0
sinon.
Nous allons montrer (c’est la remarque 4.1.2 ci-dessous) que l’homologie
du complexe ne dépend que du type de difféomorphisme de la variété. En
particulier, des exemples ci-dessus, on déduit les corollaires suivants.
Corollaire 3.1.1. L’espace projectif complexe de dimension (complexe) n ≥ 2
n’est pas difféomorphe à la sphère S
2n .
Corollaire 3.1.2. La sphère S
2 , le tore T
2 et le plan projectif réel P
2 (R) ont
des types de difféomorphisme distincts.
CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
de sorte que
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
H 0 = Z/2
H 1 = 0
H 2 = Z/2.
Même si le complexe était assez différent, son homologie est la même.
Le tore. Considérons maintenant la fonction cos(2πx)+cos(2πy) sur le tore.
On a C 0 = Z/2 engendré par a, C 1 = Z/2 ⊕ Z/2 engendré par b et c, et
C 2 = Z/2 engendré par d. Les différentielles sont
∂d = 2b + 2c = 0, ∂b = ∂c = 2a = 0.
Ainsi l’homologie modulo 2 est
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
H 0 = Z/2
H 1 = Z/2 ⊕ Z/2
H 2 = Z/2
(ce qui est bien l’homologie du tore T
2 ). Les lecteurs devraient démontrer
que le complexe associé à la fonction hauteur et au champ de vecteurs décrit
par la figure 27 du chapitre précédent a la même homologie.
L’espace projectif complexe. Là, il n’y a que des points critiques d’indice
pair et un en chaque dimension, les C k valent Z/2 si k est pair ≤ 2n et 0
sinon. Toutes les différentielles sont nulles et l’homologie du complexe est
H =
Z/2 si = 2k avec k ≤ n,
0
sinon.
Le plan projectif réel. Ici, C 0 = Z/2 engendré par a, C 1 = Z/2 engendré
par b et C 2 = Z/2 engendré par c. On a ∂c = 0 et ∂b = 0, de sorte que
H =
Z/2 si 0 ≤ ≤ 2
0
sinon.
Nous allons montrer (c’est la remarque 4.1.2 ci-dessous) que l’homologie
du complexe ne dépend que du type de difféomorphisme de la variété. En
particulier, des exemples ci-dessus, on déduit les corollaires suivants.
Corollaire 3.1.1. L’espace projectif complexe de dimension (complexe) n ≥ 2
n’est pas difféomorphe à la sphère S
2n .
Corollaire 3.1.2. La sphère S
2 , le tore T
2 et le plan projectif réel P
2 (R) ont
des types de difféomorphisme distincts.