3.1. DÉFINITION DU COMPLEXE
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en intervalles fermés ou en cercles par l’ajout des trajectoires « brisées »
passant par les points c 1 , c 2 d’indice intermédiaire. La propriété résulte
du fait que les variétés à bord de dimension 1 ont un bord constitué d’un
nombre pair de points, comme nous l’avons vu dans le théorème 2.3.2 (et
nous calculons modulo 2).
a
c 1
c 2
b
Figure 1
Pour rendre ceci rigoureux, nous aurons besoin d’un résultat de compacité (établi au § 3.2.b), et d’une description précise de la frontière, à savoir
qu’en effet, l’ensemble des liaisons de c à e se compactifie par l’ajout des
trajectoires brisées (voir le § 3.2.c).
3.1.c. Exemples. Reprenons ici tous les exemples de fonctions de Morse
avec pseudo-gradients génériques mis en évidence au § 2.2.a du chapitre 2
(avec les notations dudit paragraphe).
La hauteur sur la sphère ronde. Dans ce cas, C 0 = Z/2 engendré par a,
C 1 = 0, C 2 = Z/2 engendré par b. L’homologie dans ce cas vaut
H =
0
si = 0, 2
Z/2 pour = 0, 2.
Le même calcul avec une fonction hauteur sur la sphère unité S
n de R
n+1 ,
qui n’a, là encore, qu’un minimum et un maximum, donne
H =
0
si = 0, n
Z/2 pour = 0, n.
La hauteur sur l’autre sphère. Cette fois, C 0 = Z/2 engendré par a, C 1 =
Z/2 engendré par b et C 2 = Z/2 ⊕ Z/2 engendré par c et d. En comptant
naïvement les trajectoires reliant les points critiques, on trouve
∂c = b, ∂d = b, ∂b = 2a = 0,
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en intervalles fermés ou en cercles par l’ajout des trajectoires « brisées »
passant par les points c 1 , c 2 d’indice intermédiaire. La propriété résulte
du fait que les variétés à bord de dimension 1 ont un bord constitué d’un
nombre pair de points, comme nous l’avons vu dans le théorème 2.3.2 (et
nous calculons modulo 2).
a
c 1
c 2
b
Figure 1
Pour rendre ceci rigoureux, nous aurons besoin d’un résultat de compacité (établi au § 3.2.b), et d’une description précise de la frontière, à savoir
qu’en effet, l’ensemble des liaisons de c à e se compactifie par l’ajout des
trajectoires brisées (voir le § 3.2.c).
3.1.c. Exemples. Reprenons ici tous les exemples de fonctions de Morse
avec pseudo-gradients génériques mis en évidence au § 2.2.a du chapitre 2
(avec les notations dudit paragraphe).
La hauteur sur la sphère ronde. Dans ce cas, C 0 = Z/2 engendré par a,
C 1 = 0, C 2 = Z/2 engendré par b. L’homologie dans ce cas vaut
H =
0
si = 0, 2
Z/2 pour = 0, 2.
Le même calcul avec une fonction hauteur sur la sphère unité S
n de R
n+1 ,
qui n’a, là encore, qu’un minimum et un maximum, donne
H =
0
si = 0, n
Z/2 pour = 0, n.
La hauteur sur l’autre sphère. Cette fois, C 0 = Z/2 engendré par a, C 1 =
Z/2 engendré par b et C 2 = Z/2 ⊕ Z/2 engendré par c et d. En comptant
naïvement les trajectoires reliant les points critiques, on trouve
∂c = b, ∂d = b, ∂b = 2a = 0,