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CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
3.1.a. La différentielle. Pour définir ∂ X sur C k (f ), il suffit de savoir
définir ∂ X (a), pour a un point critique d’indice k. Et ceci doit être une
combinaison linéaire des points critiques d’indice k − 1 :
∂ X (a) =
b∈Crit k−1
n X (a, b)b, avec n X (a, b) ∈ Z/2.
L’idée est de définir n X (a, b) comme le nombre (modulo 2) de trajectoires
de X descendant de a à b, c’est-à-dire le cardinal de L(a, b). Nous montrerons
au § 3.2 que ce nombre est bien un nombre fini.
3.1.b. C’est un complexe. Un complexe
(1) est une famille (C ) =1,...,n
d’espaces vectoriels
(2) connectés par des applications linéaires
∂
k : C k −→ C k−1
vérifiant ∂
k
◦ ∂
k+1 = 0. Alors l’image de ∂
k+1 est contenue dans le noyau
de ∂
k et le quotient
H k = Ker ∂
k / Im ∂
k+1 ,
qui mesure la non exactitude de la suite des ∂, est un espace vectoriel appelé
l’homologie du complexe (en degré k).
Pour démontrer que nous avons bien affaire ici à un complexe, il nous
faut vérifier que ∂ X ◦ ∂ X = 0. Avec
∂ X ◦ ∂ X (a) =
b∈Critk−1
c∈Crit k
n X (a, c)n X (c, b)
b
(pour a ∈ Crit k+1 ), il suffit de démontrer que, étant donnés deux points
critiques, a d’indice k + 1 et b d’indice k − 1, la somme
c∈Crit k
n X (a, c)n X (c, b)
est nulle. Ce nombre est égal au cardinal de la réunion disjointe
c∈Crit k (f )
L(a, c) × L(c, b).
L’idée est donc de montrer que cet ensemble (dont nous aurons montré qu’il
est fini) de points est le bord d’une variété de dimension 1.
La figure 1 donne un argument heuristique rendant ce résultat plausible.
Elle représente la variété instable de a, qui est constituée de trajectoires
joignant a à b (cette figure est un quart de la figure 12 du chapitre 2). L’ensemble de ces trajectoires doit être une variété de dimension 1 (représentée à
droite sur la figure), une réunion d’intervalles ouverts, qui se compactifient
(1) Pour ce formalisme algébrique, voir le § 15.1 et les références qui y sont données.
(2) Ici, nous utilisons des espaces vectoriels sur Z/2 ; la bonne notion générale utilise des
modules sur un anneau commutatif, ce qui inclut le cas des groupes abéliens. Voir le § 3.3.
CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
3.1.a. La différentielle. Pour définir ∂ X sur C k (f ), il suffit de savoir
définir ∂ X (a), pour a un point critique d’indice k. Et ceci doit être une
combinaison linéaire des points critiques d’indice k − 1 :
∂ X (a) =
b∈Crit k−1
n X (a, b)b, avec n X (a, b) ∈ Z/2.
L’idée est de définir n X (a, b) comme le nombre (modulo 2) de trajectoires
de X descendant de a à b, c’est-à-dire le cardinal de L(a, b). Nous montrerons
au § 3.2 que ce nombre est bien un nombre fini.
3.1.b. C’est un complexe. Un complexe
(1) est une famille (C ) =1,...,n
d’espaces vectoriels
(2) connectés par des applications linéaires
∂
k : C k −→ C k−1
vérifiant ∂
k
◦ ∂
k+1 = 0. Alors l’image de ∂
k+1 est contenue dans le noyau
de ∂
k et le quotient
H k = Ker ∂
k / Im ∂
k+1 ,
qui mesure la non exactitude de la suite des ∂, est un espace vectoriel appelé
l’homologie du complexe (en degré k).
Pour démontrer que nous avons bien affaire ici à un complexe, il nous
faut vérifier que ∂ X ◦ ∂ X = 0. Avec
∂ X ◦ ∂ X (a) =
b∈Critk−1
c∈Crit k
n X (a, c)n X (c, b)
b
(pour a ∈ Crit k+1 ), il suffit de démontrer que, étant donnés deux points
critiques, a d’indice k + 1 et b d’indice k − 1, la somme
c∈Crit k
n X (a, c)n X (c, b)
est nulle. Ce nombre est égal au cardinal de la réunion disjointe
c∈Crit k (f )
L(a, c) × L(c, b).
L’idée est donc de montrer que cet ensemble (dont nous aurons montré qu’il
est fini) de points est le bord d’une variété de dimension 1.
La figure 1 donne un argument heuristique rendant ce résultat plausible.
Elle représente la variété instable de a, qui est constituée de trajectoires
joignant a à b (cette figure est un quart de la figure 12 du chapitre 2). L’ensemble de ces trajectoires doit être une variété de dimension 1 (représentée à
droite sur la figure), une réunion d’intervalles ouverts, qui se compactifient
(1) Pour ce formalisme algébrique, voir le § 15.1 et les références qui y sont données.
(2) Ici, nous utilisons des espaces vectoriels sur Z/2 ; la bonne notion générale utilise des
modules sur un anneau commutatif, ce qui inclut le cas des groupes abéliens. Voir le § 3.3.