CHAPITRE 3
LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
On considère ici une variété compacte munie d’une fonction de Morse f et
d’un champ X de pseudo-gradients générique (c’est-à-dire, vérifiant la condition de Smale). Pour tout entier k, on définit C k (f ), simplement noté C k
quand aucune confusion n’est à redouter, comme l’espace vectoriel sur Z/2
de base les points critiques d’indice k de f . En utilisant les liaisons entre
points critiques établies par les trajectoires de X, on définit
∂ X : C k −→ C k−1 .
On montre aussi que
∂ X ◦ ∂ X : C k+1 −→ C k−1
est l’application nulle, de sorte que (C (f ), ∂ X ) est un complexe d’espaces
vectoriels sur Z/2, dont l’homologie est
H k (C (f ), ∂ X ) = Ker ∂ X / Im ∂ X = H k (f, X).
On montre enfin que, si le complexe lui-même en dépend, l’homologie ne
dépend pas des choix de f et X (c’est en fait, pour ceux qui savent ce que
c’est, l’homologie modulo 2 de V ).
Voir le § 15.1 pour les définitions et propriétés de base des objets utilisés ici.
3.1. Définition du complexe
Définissons donc l’espace vectoriel
C k (f ) =
c∈Crit k (f ) a c c | a c ∈ Z/2
,
où Crit k (f ) désigne bien entendu l’ensemble des points critiques d’indice k
de f .