TABLE DES MATIÈRES
vii
9. Homologie de Floer : étude des espaces de trajectoires. . . . .275
9.1. Les espaces de trajectoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
9.2. Trajectoires brisées, recollement : énoncés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.3. Pré-recollement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.4. Construction de ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.5. Propriétés de
ψ :
ψ est une immersion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
9.6. Propriétés de
ψ : unicité du recollement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10. De Floer à Morse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .325
10.1. Les énoncés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
10.2. La linéarisation du flot d’un champ de pseudo-gradient,
démonstration du théorème 10.1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
10.3. Démonstration du théorème (de régularité) 10.1.2. . . . . . . . . . . 336
10.4. Les trajectoires de Morse et de Floer coïncident. . . . . . . . . . . . . 341
11. Homologie de Floer : invariance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .347
11.1. Le morphisme Φ
Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
11.2. Démonstration du théorème 11.1.16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
11.3. Invariance de Φ
Γ : démonstration de la proposition 11.2.8 . . . 374
11.4. Démonstration du théorème 11.3.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
11.5. Fin de la preuve de l’invariance de l’homologie de Floer :
démonstration de la proposition 11.2.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
11.6. Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
12. La régularité elliptique de l’opérateur de Floer. . . . . . . . . . . .413
12.1. La régularité elliptique : pourquoi et comment ?. . . . . . . . . . . . . 413
12.2. Démonstration du lemme 8.7.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
12.3. Démonstration du théorème 12.1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
12.4. Régularité elliptique de l’opérateur de Floer (non linéaire),
démonstrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
13. Les lemmes sur la dérivée seconde de l’opérateur de Floer
et autres technicités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .433
13.1. Versions de l’opérateur de Floer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
13.2. Les deux lemmes sur dF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
13.3. L’opérateur
F ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
13.4. Démonstration des deux lemmes : le premier. . . . . . . . . . . . . . . . 440
13.5. Démonstration des deux lemmes : le deuxième . . . . . . . . . . . . . . 446
13.6. Encore un lemme technique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
13.7. Deux autres lemmes techniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
13.8. Variantes à paramètre(s) des lemmes sur la dérivée seconde . 460
Exercices de la deuxième partie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
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9. Homologie de Floer : étude des espaces de trajectoires. . . . .275
9.1. Les espaces de trajectoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
9.2. Trajectoires brisées, recollement : énoncés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.3. Pré-recollement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.4. Construction de ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.5. Propriétés de
ψ :
ψ est une immersion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
9.6. Propriétés de
ψ : unicité du recollement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10. De Floer à Morse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .325
10.1. Les énoncés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
10.2. La linéarisation du flot d’un champ de pseudo-gradient,
démonstration du théorème 10.1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
10.3. Démonstration du théorème (de régularité) 10.1.2. . . . . . . . . . . 336
10.4. Les trajectoires de Morse et de Floer coïncident. . . . . . . . . . . . . 341
11. Homologie de Floer : invariance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .347
11.1. Le morphisme Φ
Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
11.2. Démonstration du théorème 11.1.16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
11.3. Invariance de Φ
Γ : démonstration de la proposition 11.2.8 . . . 374
11.4. Démonstration du théorème 11.3.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
11.5. Fin de la preuve de l’invariance de l’homologie de Floer :
démonstration de la proposition 11.2.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
11.6. Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
12. La régularité elliptique de l’opérateur de Floer. . . . . . . . . . . .413
12.1. La régularité elliptique : pourquoi et comment ?. . . . . . . . . . . . . 413
12.2. Démonstration du lemme 8.7.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
12.3. Démonstration du théorème 12.1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
12.4. Régularité elliptique de l’opérateur de Floer (non linéaire),
démonstrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
13. Les lemmes sur la dérivée seconde de l’opérateur de Floer
et autres technicités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .433
13.1. Versions de l’opérateur de Floer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
13.2. Les deux lemmes sur dF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
13.3. L’opérateur
F ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
13.4. Démonstration des deux lemmes : le premier. . . . . . . . . . . . . . . . 440
13.5. Démonstration des deux lemmes : le deuxième . . . . . . . . . . . . . . 446
13.6. Encore un lemme technique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
13.7. Deux autres lemmes techniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
13.8. Variantes à paramètre(s) des lemmes sur la dérivée seconde . 460
Exercices de la deuxième partie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469