vi
TABLE DES MATIÈRES
4.5. Homologie et connexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6. Fonctorialité de l’homologie de Morse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.7. Suite exacte longue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.8. Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Partie II. La conjecture d’Arnold, théorie de Floer
Introduction de la deuxième partie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
5. Ce qu’il faut savoir en géométrie symplectique. . . . . . . . . . . . . .111
5.1. Espaces vectoriels symplectiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2. Variétés symplectiques, définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3. Exemples de variétés symplectiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4. Champs de vecteurs hamiltoniens, systèmes hamiltoniens. . . . . 116
5.5. Structures complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.6. Le groupe symplectique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6. La conjecture d’Arnold et l’équation de Floer. . . . . . . . . . . . . . .131
6.1. La conjecture d’Arnold. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2. Stratégie de la démonstration, homologie de Floer. . . . . . . . . . . . 134
6.3. La fonctionnelle d’action. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4. Le gradient, l’équation de Floer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.5. Espace des solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.6. Démonstration de la compacité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.7. Appendice : fonctions, formes fermées, revêtements. . . . . . . . . . . 163
6.8. Appendice : structure de variété de Banach sur LW . . . . . . . . . . 165
7. Géométrie du groupe symplectique, indice de Maslov . . . . . .169
7.1. Vers la définition de l’indice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.2. L’indice de Maslov d’un chemin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.3. Appendice : construction et propriétés de ρ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8. Linéarisation et transversalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
8.1. Les résultats : énoncés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.2. La variété de Banach P
1,p (x, y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.3. L’espace des perturbations de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.4. Linéarisation de l’équation de Floer : calcul de la différentielle
de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.5. La transversalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.6. Les solutions de Floer sont « injectives quelque part ». . . . . . . . 228
8.7. La propriété de Fredholm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.8. Le calcul de l’indice de L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.9. La décroissance exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
TABLE DES MATIÈRES
4.5. Homologie et connexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6. Fonctorialité de l’homologie de Morse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.7. Suite exacte longue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.8. Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Partie II. La conjecture d’Arnold, théorie de Floer
Introduction de la deuxième partie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
5. Ce qu’il faut savoir en géométrie symplectique. . . . . . . . . . . . . .111
5.1. Espaces vectoriels symplectiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2. Variétés symplectiques, définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3. Exemples de variétés symplectiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4. Champs de vecteurs hamiltoniens, systèmes hamiltoniens. . . . . 116
5.5. Structures complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.6. Le groupe symplectique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6. La conjecture d’Arnold et l’équation de Floer. . . . . . . . . . . . . . .131
6.1. La conjecture d’Arnold. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2. Stratégie de la démonstration, homologie de Floer. . . . . . . . . . . . 134
6.3. La fonctionnelle d’action. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4. Le gradient, l’équation de Floer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.5. Espace des solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.6. Démonstration de la compacité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.7. Appendice : fonctions, formes fermées, revêtements. . . . . . . . . . . 163
6.8. Appendice : structure de variété de Banach sur LW . . . . . . . . . . 165
7. Géométrie du groupe symplectique, indice de Maslov . . . . . .169
7.1. Vers la définition de l’indice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.2. L’indice de Maslov d’un chemin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.3. Appendice : construction et propriétés de ρ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8. Linéarisation et transversalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
8.1. Les résultats : énoncés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.2. La variété de Banach P
1,p (x, y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.3. L’espace des perturbations de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.4. Linéarisation de l’équation de Floer : calcul de la différentielle
de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.5. La transversalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.6. Les solutions de Floer sont « injectives quelque part ». . . . . . . . 228
8.7. La propriété de Fredholm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.8. Le calcul de l’indice de L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.9. La décroissance exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267