TABLE DES MATIÈRES
Préface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Partie I. Théorie de Morse
Introduction de la première partie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Fonctions de Morse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Définition des fonctions de Morse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Existence et multitude des fonctions de Morse. . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Le lemme de Morse, indice d’un point critique. . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Exemples de fonctions de Morse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Pseudo-gradients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1. Gradients, pseudo-gradients et cartes de Morse. . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. La condition de Smale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3. Appendice : classification des variétés compactes de dimension 1 44
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3. Le complexe des points critiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1. Définition du complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2. Espace des liaisons entre deux points critiques, ou des
« trajectoires brisées ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3. Orientations, complexe sur Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4. L’homologie du complexe ne dépend ni de la fonction ni du
champ de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5. Cobordismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4. Homologie de Morse, applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1. Homologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2. La formule de Künneth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3. La « dualité de Poincaré ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4. Caractéristique d’Euler, polynôme de Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . 79
Préface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Partie I. Théorie de Morse
Introduction de la première partie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Fonctions de Morse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Définition des fonctions de Morse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Existence et multitude des fonctions de Morse. . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Le lemme de Morse, indice d’un point critique. . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Exemples de fonctions de Morse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Pseudo-gradients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1. Gradients, pseudo-gradients et cartes de Morse. . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. La condition de Smale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3. Appendice : classification des variétés compactes de dimension 1 44
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3. Le complexe des points critiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1. Définition du complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2. Espace des liaisons entre deux points critiques, ou des
« trajectoires brisées ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3. Orientations, complexe sur Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4. L’homologie du complexe ne dépend ni de la fonction ni du
champ de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5. Cobordismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4. Homologie de Morse, applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1. Homologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2. La formule de Künneth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3. La « dualité de Poincaré ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4. Caractéristique d’Euler, polynôme de Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . 79