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CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
Exercices
Exercice 10. Montrer que les champs dont les flots sont dessinés sur la
figure 30 ne sont pas des champs de pseudo-gradients.
Figure 30
Exercice 11. Soit V une variété de dimension 2 munie d’une fonction de
Morse possédant un unique point critique d’indice 1. Montrer que tout
champ de pseudo-gradient adapté à cette fonction satisfait à la condition
de Smale.
Exercice 12. On fixe un entier m ≥ 2. Trouver les points critiques de la
fonction f : P
1 (C) → R définie par
f ([z 0 , z 1 ]) =
|z
m
0 + z
m
1 |
2
(|z 0 |
2 + |z 1 |
2 ) m
=
|z
m + 1|
2
(|z|
2 + 1) m
(en coordonnées homogènes ou dans la carte affine z 1 = 0). Vérifier que,
pour m = 2, f n’est pas une fonction de Morse
(3) .
Figure 31
(3) C’est une fonction de Morse-Bott (voir [10]) : ses points critiques s’organisent en sousvariétés (ici P 1 (R) pour le maximum) et la dérivée seconde est non dégénérée transversalement.
CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
Exercices
Exercice 10. Montrer que les champs dont les flots sont dessinés sur la
figure 30 ne sont pas des champs de pseudo-gradients.
Figure 30
Exercice 11. Soit V une variété de dimension 2 munie d’une fonction de
Morse possédant un unique point critique d’indice 1. Montrer que tout
champ de pseudo-gradient adapté à cette fonction satisfait à la condition
de Smale.
Exercice 12. On fixe un entier m ≥ 2. Trouver les points critiques de la
fonction f : P
1 (C) → R définie par
f ([z 0 , z 1 ]) =
|z
m
0 + z
m
1 |
2
(|z 0 |
2 + |z 1 |
2 ) m
=
|z
m + 1|
2
(|z|
2 + 1) m
(en coordonnées homogènes ou dans la carte affine z 1 = 0). Vérifier que,
pour m = 2, f n’est pas une fonction de Morse
(3) .
Figure 31
(3) C’est une fonction de Morse-Bott (voir [10]) : ses points critiques s’organisent en sousvariétés (ici P 1 (R) pour le maximum) et la dérivée seconde est non dégénérée transversalement.