2.3. APPENDICE : VARIÉTÉS DE DIMENSION 1
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Si k = 1, le théorème est donc démontré. Sinon, comme V est connexe,
il existe un i ≥ 2 tel que A 1 ∩ A i = ∅. Cette intersection ne contient que
des maxima locaux, puisque ceux-ci sont les seuls points d’où l’on peut
descendre vers deux minima différents. En particulier, ∂V ∩ (A 1 ∩ A i ) = ∅.
Dans A 1 ∩ A i , il y a au plus deux points.
– Si cette intersection contient deux points, les deux sont des maxima,
A 1 ∪ A i est difféomorphe à S
1 et on a fini.
– Si au contraire elle n’en contient qu’un, alors A 1 ∪ A i est difféomorphe
à [0, 1]. Si A 1 ∪ A i = V , on a terminé.
Et sinon, on continue jusqu’à épuisement des A i .
Il existe d’autres façons, peut-être plus simples, de démontrer ce théorème
(voir [48]). Cette démonstration par la théorie de Morse a l’avantage de
préparer d’autres démonstrations, analogues, celle par exemple de 4.5.1 cidessous.
2.3.c. Une application, le théorème du point fixe de Brouwer.
Déduisons, du théorème de Sard et de la connaissance des variétés de dimension 1, le célèbre théorème de Brouwer (cette démonstration vient du
livre de Milnor [48]).
Théorème 2.3.3. Soit ϕ : D
n
→ D
n une application continue. Alors elle a
un point fixe.
Démonstration. La première partie de la démonstration consiste à se ramener au cas où ϕ est une application C
∞ . Nous ne la détaillons pas ici
(voir [37]). Ensuite à partir de ϕ, supposée C
∞ mais aussi sans point fixe,
on construit une rétraction
r : D
n
−→ S
n−1
en associant à x ∈ D
n le point d’intersection de la demi-droite issue de
ϕ(x) et passant par x avec la sphère S
n−1 . De sorte que, si x est un point
de la sphère, il reste à sa place. On a ainsi une application C
∞ , r, qui se
restreint à l’identité sur le bord. Le théorème de Sard nous garantit que
cette application a des valeurs régulières, on en choisit une, a ∈ S
n−1 . Alors
r
−1 (a) est une sous-variété de dimension 1 de D
n , de bord
∂r
−1 (a) = r
−1 (a) ∩ ∂D
n = {a} .
Mais une variété à bord de dimension 1 est difféomorphe à une réunion
de cercles et d’intervalles fermés, de sorte que son bord est composé d’un
nombre pair de points. Une contradiction qui implique l’existence d’un point
fixe.
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Si k = 1, le théorème est donc démontré. Sinon, comme V est connexe,
il existe un i ≥ 2 tel que A 1 ∩ A i = ∅. Cette intersection ne contient que
des maxima locaux, puisque ceux-ci sont les seuls points d’où l’on peut
descendre vers deux minima différents. En particulier, ∂V ∩ (A 1 ∩ A i ) = ∅.
Dans A 1 ∩ A i , il y a au plus deux points.
– Si cette intersection contient deux points, les deux sont des maxima,
A 1 ∪ A i est difféomorphe à S
1 et on a fini.
– Si au contraire elle n’en contient qu’un, alors A 1 ∪ A i est difféomorphe
à [0, 1]. Si A 1 ∪ A i = V , on a terminé.
Et sinon, on continue jusqu’à épuisement des A i .
Il existe d’autres façons, peut-être plus simples, de démontrer ce théorème
(voir [48]). Cette démonstration par la théorie de Morse a l’avantage de
préparer d’autres démonstrations, analogues, celle par exemple de 4.5.1 cidessous.
2.3.c. Une application, le théorème du point fixe de Brouwer.
Déduisons, du théorème de Sard et de la connaissance des variétés de dimension 1, le célèbre théorème de Brouwer (cette démonstration vient du
livre de Milnor [48]).
Théorème 2.3.3. Soit ϕ : D
n
→ D
n une application continue. Alors elle a
un point fixe.
Démonstration. La première partie de la démonstration consiste à se ramener au cas où ϕ est une application C
∞ . Nous ne la détaillons pas ici
(voir [37]). Ensuite à partir de ϕ, supposée C
∞ mais aussi sans point fixe,
on construit une rétraction
r : D
n
−→ S
n−1
en associant à x ∈ D
n le point d’intersection de la demi-droite issue de
ϕ(x) et passant par x avec la sphère S
n−1 . De sorte que, si x est un point
de la sphère, il reste à sa place. On a ainsi une application C
∞ , r, qui se
restreint à l’identité sur le bord. Le théorème de Sard nous garantit que
cette application a des valeurs régulières, on en choisit une, a ∈ S
n−1 . Alors
r
−1 (a) est une sous-variété de dimension 1 de D
n , de bord
∂r
−1 (a) = r
−1 (a) ∩ ∂D
n = {a} .
Mais une variété à bord de dimension 1 est difféomorphe à une réunion
de cercles et d’intervalles fermés, de sorte que son bord est composé d’un
nombre pair de points. Une contradiction qui implique l’existence d’un point
fixe.