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CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
2.3.b. Le théorème de classification.
Théorème 2.3.2. Soit V une variété compacte et connexe de dimension 1.
Alors V est difféomorphe à S
1 si ∂V = ∅ et à [0, 1] sinon.
Démonstration. On suppose que X est un champ de vecteurs entrant le
long du bord, que f est une fonction de Morse pour laquelle X est un
champ de pseudo-gradients adapté (on peut construire un tel champ de
vecteurs et une telle fonction comme indiqué plus haut). Les points critiques
de f sont des minima et des maxima locaux. La démonstration est fondée
sur le fait que toutes les trajectoires qui ne sont pas stationnaires en un
maximum aboutissent à un minimum. Appelons c 1 , . . . , c k les minima de f .
La variété stable W
s (c i ) est difféomorphe à un intervalle (ouvert), elle est
constituée de deux trajectoires aboutissant en c i et du point c i lui-même.
Dans l’adhérence A i de cette variété stable, il y a (en plus) les points de
départ de ces deux trajectoires. Ces points de départ
– soit sont tous les deux des maxima (et alors ils peuvent être ou n’être
pas confondus),
– soit au moins l’un des deux est un point du bord de V (et alors ils sont
distincts).
Il est clair aussi que, comme adhérence d’un espace connexe, A i est connexe.
Clairement, si A i consiste de W
s (c i ) et d’un unique point, celui-ci est un
maximum et A i est difféomorphe à un cercle. De même, si A i consiste de
la variété stable et de deux points ajoutés, alors A i est difféomorphe à un
intervalle fermé.
Remarquons que la réunion des A i est V tout entière : si x ∈ V , sa
trajectoire tend vers un minimum et il est dans une des variétés stables,
sauf s’il est un maximum, mais alors il est dans l’adhérence d’une variété
stable.
c 1
A 1
c i
A i
A 1
c 1
A i
c i
Figure 29
CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
2.3.b. Le théorème de classification.
Théorème 2.3.2. Soit V une variété compacte et connexe de dimension 1.
Alors V est difféomorphe à S
1 si ∂V = ∅ et à [0, 1] sinon.
Démonstration. On suppose que X est un champ de vecteurs entrant le
long du bord, que f est une fonction de Morse pour laquelle X est un
champ de pseudo-gradients adapté (on peut construire un tel champ de
vecteurs et une telle fonction comme indiqué plus haut). Les points critiques
de f sont des minima et des maxima locaux. La démonstration est fondée
sur le fait que toutes les trajectoires qui ne sont pas stationnaires en un
maximum aboutissent à un minimum. Appelons c 1 , . . . , c k les minima de f .
La variété stable W
s (c i ) est difféomorphe à un intervalle (ouvert), elle est
constituée de deux trajectoires aboutissant en c i et du point c i lui-même.
Dans l’adhérence A i de cette variété stable, il y a (en plus) les points de
départ de ces deux trajectoires. Ces points de départ
– soit sont tous les deux des maxima (et alors ils peuvent être ou n’être
pas confondus),
– soit au moins l’un des deux est un point du bord de V (et alors ils sont
distincts).
Il est clair aussi que, comme adhérence d’un espace connexe, A i est connexe.
Clairement, si A i consiste de W
s (c i ) et d’un unique point, celui-ci est un
maximum et A i est difféomorphe à un cercle. De même, si A i consiste de
la variété stable et de deux points ajoutés, alors A i est difféomorphe à un
intervalle fermé.
Remarquons que la réunion des A i est V tout entière : si x ∈ V , sa
trajectoire tend vers un minimum et il est dans une des variétés stables,
sauf s’il est un maximum, mais alors il est dans l’adhérence d’une variété
stable.
c 1
A 1
c i
A i
A 1
c 1
A i
c i
Figure 29