2.3. APPENDICE : VARIÉTÉS DE DIMENSION 1
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qu’il est entrant, c’est-à dire que, pour toute carte ϕ : U → V (où U est un
ouvert du demi-espace x n ≤ 0 de R
n ) et tout x ∈ ∂V ∩ ϕ(U ), on a
T ϕ −1 (x) ϕ
−1 (X x ) =
n
i=1
a i
∂
∂x i
avec a n (ϕ
−1 (x)) < 0.
U
V
x n
x
X x
ϕ
Figure 28. Champ de vecteurs entrant
Il est facile de construire un tel champ de vecteurs, par exemple en partant
du champ −∂/∂x n sur R
n et en utilisant une partition de l’unité.
On peut ensuite construire une fonction de Morse f sur V telle que
df (X) < 0 au voisinage de ∂V
en la définissant d’abord au voisinage du bord, par
f (ϕ
−s
X (x)) = s pour s ∈ [0, δ[ si x ∈ ∂V
puis en la prolongeant arbitrairement à V , et enfin en la perturbant si
nécessaire pour en faire une fonction de Morse.
Prolongeons ensuite X, qui n’a été jusque là défini qu’au voisinage du
bord, en un champ de pseudo-gradients adapté à f que nous appellerons
encore X.
Remarque 2.3.1. Il n’est pas vrai que n’importe quelle fonction de Morse
sur une variété à bord possède un champ de pseudo-gradient transverse au
bord (penser au cas de la projection du disque unité sur une droite). C’est
pourquoi nous avons choisi, dans cette construction, de commencer par le
champ de vecteurs.