EXERCICES
49
On suppose que m ≥ 3. Montrer que f est de Morse et a deux maximums
locaux, les points 0 et ∞, m minimums locaux, les racines m
e de −1, et m
points critiques d’indice 1, les racines m
e de 1.
Indication : on pourra déterminer les points critiques en utilisant les
dérivées par rapport à z et z, puis utiliser un développement à l’ordre 2 au
voisinage de 0 en u de f (u) (pour étudier les points critiques en 0 et ∞) ou
de f (ζ(1 + u)) (pour étudier les points critiques en ζ, ζ
m = ±1).
Montrer qu’il existe un champ de pseudo-gradients tel que celui représenté (dans une carte affine) sur la figure 31 (dans le cas m = 3). Voir
plus généralement l’article [8] dans lequel une fonction analogue (définie
sur P
n (C)) joue un rôle important.
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On suppose que m ≥ 3. Montrer que f est de Morse et a deux maximums
locaux, les points 0 et ∞, m minimums locaux, les racines m
e de −1, et m
points critiques d’indice 1, les racines m
e de 1.
Indication : on pourra déterminer les points critiques en utilisant les
dérivées par rapport à z et z, puis utiliser un développement à l’ordre 2 au
voisinage de 0 en u de f (u) (pour étudier les points critiques en 0 et ∞) ou
de f (ζ(1 + u)) (pour étudier les points critiques en ζ, ζ
m = ±1).
Montrer qu’il existe un champ de pseudo-gradients tel que celui représenté (dans une carte affine) sur la figure 31 (dans le cas m = 3). Voir
plus généralement l’article [8] dans lequel une fonction analogue (définie
sur P
n (C)) joue un rôle important.