2.2. LA CONDITION DE SMALE
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(on a supprimé le γ(x)). Pour déterminer ϕ
−m
X (0, q, 0), on doit résoudre le
système différentiel
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂x i
∂s
= −β i (z(s)) x(0) = 0
∂q
∂s
= 0
q(0) = q
∂z
∂s
= −1
z(0) = 0
dont la solution est
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x i (s) =
s
0
−β i (−t) dt =
−s
0
β i (−t) dt
q(s) = q
z(s) = −s.
On a donc bien
ϕ
−m
X (0, q, 0) = (w, q, 0)
et, comme pour s ∈ [−m, 0], x(s) ≤ 1/3 (pour les β i assez petits, c’està-dire pour w assez petit), on reste dans la partie du disque où γ ≡ 1, de
sorte que la formule donne bien le flot de X
.
Ce qui achève la démonstration du lemme 2.2.8.
2.2.d. Une illustration, la fonction hauteur sur le tore. Reprenons
l’exemple de la fonction hauteur sur le tore de dimension 2, avec le champ de
gradients X dont nous avons dit qu’il ne satisfait pas la propriété de Smale
(exemples 2.2.4). C’est-à-dire, recopions les figures 10 et 11, en y faisant
figurer les deux niveaux α + ε et α + 2ε au-dessus du point critique b entre
lesquels nous savons qu’il suffit de modifier le champ de vecteurs.
a
b
c
d
α + ε
α + 2ε
Figure 23
a
b
c
α + ε
α + 2ε
d
d
d
d
c
Figure 24