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CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
(disons w = δ) tel que w soit une valeur régulière de g. On va perturber
le champ X en X
de façon que
W
s
X ∩ {z = m} = φ
−m
X (0, q, 0) = (w, q, m).
On aura ainsi W
s
X ∩ P = g
−1 (w), ce qui implique que W
s
X ∩ P est une
sous-variété de codimension k dans P . L’égalité
codim P W
s
X ∩ P = codim V W
s
X
implique la transversalité des deux sous-variétés W
s
X et P .
Le lemme « dans la variété » résulte maintenant du lemme « dans le
modèle » qui vient.
Lemme 2.2.9. Il existe un champ X
proche (au sens C
1 ) de −∂/∂z tel que
(1) X
= −∂/∂z près de ∂(D
k
× Q × [0, m]) ;
(2) ϕ
−m
X (0, q, 0) = (w, q, m).
Démonstration du lemme 2.2.9. Appelons (v 1 , . . . , v k ) les coordonnées de
w ∈ D
k . Posons
X
= −
∂
∂z
−
k
i=1
β i (z)γ(x)
∂
∂x i
,
où
– la fonction β i est nulle en dehors de [0, m], avec |β i (s)| < η, |β
i (s)| < η
et telle que
m
0
β i (t) dt = v i (ici, η est un nombre positif fixé petit, correspondant à la précision de l’approximation souhaitée) ;
– la fonction γ est, elle, définie sur D
k , elle est à valeurs dans [0, 1], identiquement nulle près de ∂D
k , vérifiant γ ≡ 1 sur x ≤ 1/3 et |∂γ/∂x i | ≤ 2.
Voir les figures 21 et 22.
0
m
η
v i
Figure 21. La fonction βi
1
D
k
Figure 22. La fonction γ
Il est clair que le champ X
satisfait à la première propriété annoncée.
Pour démontrer qu’il satisfait aussi à la seconde, considérons d’abord le
champ
X
= −
∂
∂z
−
k
i=1
β i (z)
∂
∂x i