2.2. LA CONDITION DE SMALE
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tel que
– Ψ se restreint à {0} × Q × {0} en le plongement de Q dans f
−1 (α j + ε) ;
– Ψ se restreint à {0}×Q×{m} en le plongement de Q dans f
−1 (α j +2ε) ;
– si z est la coordonnée dans [0, m] ⊂ R,
Ψ
−
∂
∂z
= X.
Les variétés instables sont transverses aux niveaux. En particulier, elles
rencontrent D
k
× Q le long d’une variété (non connexe en général) P
. Si
W
s
X (c j ) P
, il n’y a rien à démontrer. La preuve va donc consister à
modifier X en X
sur f
−1 (]α j + ε, α j + 2ε[) de sorte que
W
s
X (c j ) P
.
La modification aura lieu à l’intérieur de l’image de Ψ. Plaçons-nous donc
dans D
k
× Q × [0, m] avec X = −∂/∂z. La figure 19 montre ce qui se passe
dans la variété, la figure 20 montre le modèle.
m
0
X
Q
D
k
Figure 20. Le modèle
Appelons P la sous-variété Ψ
−1 (P
) ⊂ D
k
× Q × [0, m]. Vue dans le
modèle, la condition de transversalité W
s
X (c j ) P
recherchée s’écrit
W
s
X P avec W
s
X =
φ
−s
X (0, q, 0) | s > 0, q ∈ Q
.
Dans la situation initiale, X
= X = −∂/∂z, donc
P ∩ W
s
X = P ∩ {(0, q, s) | s > 0, q ∈ Q} = P ∩ {(0, q, 0) | q ∈ Q} = g
−1 (0)
où g : P → D
k est la projection (x, q, z) → x.
La démonstration va consister à rendre 0 valeur régulière de g. Grâce à
Sard, il y a un vecteur w dans D
k , aussi proche de 0 que nous le souhaiterons