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CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
Démonstration du lemme. Il peut être utile de contempler une carte de
Morse au voisinage de c j . Il y en a une représentée (deux fois) sur la figure 18,
où sont portées les notations qui suivent. L’indice de c j est appelé k. On
f
−1 (α j + 2ε)
c j
W
s
X (c j )
Q
f
−1 (α j + 2ε)
f
−1 (α j + 2ε)
c j
W
s
X (c j )
Figure 18. Dans une carte de Morse
choisit un ε assez petit pour que
α j + 2ε < α j−1 .
On note Q = W
s (c j ) ∩ f
−1 (α j + 2ε), de sorte que Q est une sphère de
dimension n − k − 1. On considère un voisinage tubulaire de cette sphère Q
dans f
−1 (α j + 2ε), de la forme Q × D
k , ce que l’on voit dans une carte de
Morse et sur la figure 19.
α j + 2ε
α j + ε
W
u
X (c i )
W
s
X (c j )
Q
D
k
c j
Figure 19. Dans la variété
Il existe alors un plongement
Ψ : D
k
× Q × [0, m] −→ f
−1 (]α j + ε, α j + 2ε[)
CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
Démonstration du lemme. Il peut être utile de contempler une carte de
Morse au voisinage de c j . Il y en a une représentée (deux fois) sur la figure 18,
où sont portées les notations qui suivent. L’indice de c j est appelé k. On
f
−1 (α j + 2ε)
c j
W
s
X (c j )
Q
f
−1 (α j + 2ε)
f
−1 (α j + 2ε)
c j
W
s
X (c j )
Figure 18. Dans une carte de Morse
choisit un ε assez petit pour que
α j + 2ε < α j−1 .
On note Q = W
s (c j ) ∩ f
−1 (α j + 2ε), de sorte que Q est une sphère de
dimension n − k − 1. On considère un voisinage tubulaire de cette sphère Q
dans f
−1 (α j + 2ε), de la forme Q × D
k , ce que l’on voit dans une carte de
Morse et sur la figure 19.
α j + 2ε
α j + ε
W
u
X (c i )
W
s
X (c j )
Q
D
k
c j
Figure 19. Dans la variété
Il existe alors un plongement
Ψ : D
k
× Q × [0, m] −→ f
−1 (]α j + ε, α j + 2ε[)