2.2. LA CONDITION DE SMALE
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Remarquons que
– la propriété P(q) est exactement le théorème ;
– la propriété P(1) est vraie pour une raison triviale : le point critique c 1
est le maximum de f et sa variété stable est réduite à lui même, celle-ci
ne rencontre donc aucune variété instable d’aucun point critique situé endessous de c 1 ;
– et P(2) se déduit du lemme avec j = 2.
α r−1
α r + 2ε
α r + ε
α r
c r−1
cr
W
s (c r−1 )
Figure 17
Supposons donc que P(r − 1) soit vraie et montrons que P(r) l’est. On a
donc un champ X
r−1 tel que la variété stable de c r−1 soit transverse à toutes
les variétés instables. On applique le lemme au champ X
r−1 et à j = r.
On obtient un champ X
r qui, en particulier (c’est la première propriété
donnée par le lemme), coïncide avec X
r−1 en dehors de l’étroite bande où
α r + ε ≤ f ≤ α r + 2ε. De plus, comme, pour tout p ≤ r − 1, la variété
stable de c p pour X
r−1 est au-dessus de cette bande, cette variété stable est
la même pour X
r−1 et X
r (voir la figure 17). Donc on a
W
s
X r−1 (c p ) ∩ W
u
X r−1 (c i ) = W
s
X r (c p ) ∩ W
u
X r (c i )
pour p ≤ r − 1 et pour tout i, donc
W
s
X r (c p ) W
u
X r (c i ).
Et, pour p = r, le lemme implique (c’est la deuxième propriété) que
W
s
Xr (c r ) W
u
Xr (c i ).