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CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
de Morse au voisinage de chaque point critique de f . Soit Ω la réunion de
ces cartes et soit X un champ de pseudo-gradients sur V transverse au bord.
Alors il existe un champ de pseudo-gradients X
qui est proche de X (au
sens C
1 ), égal à X sur Ω et tel que, pour tous points critiques a, b de f ,
on ait
W
s
X (a) W
u
X (b).
Pour préciser la notion de proximité C
1 utilisée ici : l’énoncé affirme que,
pour tout ε > 0, pour tout recouvrement de V par des cartes ϕ i (U i ) et tout
compact K i ⊂ U i , il existe un champ X
tel que (pour la la norme C
1 sur
chaque compact K i ), on ait
T ϕ
−1
i (X
) − T ϕ
−1
i (X) < ε
et les propriétés annoncées.
Remarque 2.2.6. Un champ X
suffisamment proche du champ de pseudogradients X au sens C
1 et égal à X sur Ω est lui aussi un champ de pseudogradients. On appellera, pour aller plus vite, « bonne approximation » de X
un tel champ X
.
Remarque 2.2.7. Ce théorème est parfois appelé « de Kupka-Smale », parce
que Kupka en a donné une démonstration, mais celle que nous imitons ici
est la démonstration de Smale.
Démonstration du théorème. Comme les valeurs critiques de f sont distinctes, ordonnons ses points critiques
Crit(f ) = {c 1 , . . . , c q } avec f (c 1 ) > f(c 2 ) > · · · > f(c q ),
et on note α i = f (c i ). La démonstration du théorème va être une récurrence
fondée sur le lemme qui suit.
Lemme 2.2.8. Soit j ∈ {1, . . . , q} et soit ε > 0. Il existe une bonne approximation X
(au sens C
1 ) de X telle que
(1) le champ X
coïncide avec X sur le complémentaire dans V de
f
−1 ([α j + ε, α j + 2ε]) ;
(2) la variété stable (pour X
) de c j est transverse aux variétés instables
de tous les points critiques,
W
s
X (c j ) W
u
X (c i ).
Admettons (provisoirement) le lemme et démontrons le théorème. On
appelle P(r) la propriété : il existe une bonne approximation X
r de X telle
que, pour tout p ≤ r et tout i, on ait
W
s
X
r
(c p ) W
u
X
r
(c i ).