2.2. LA CONDITION DE SMALE
37
Exemples 2.2.4. Tous les exemples présentés ci-dessus satisfont à la condition
de Smale
(2) , sauf celui de la fonction hauteur sur le tore. En effet, les variétés
W
s (b) et W
u (c) ne sont pas transverses, comme on l’a déjà remarqué sans
le savoir (exemple 2.2.a et figure 10). D’ailleurs, on a des trajectoires de
gradient joignant deux points critiques d’indice 1, ce dont nous venons de
voir que c’est interdit. Ce « mauvais » champ de vecteurs est le gradient pour
la métrique riemannienne induite sur le tore par la métrique euclidienne
ambiante.
La condition de Smale interdit des lignes de champ comme celles montrées
sur la figure 15. La figure 16 montre les trajectoires d’un champ voisin
vérifiant la condition de Smale (obtenu par la méthode générale explicitée
dans le paragraphe suivant).
Figure 15
Figure 16
2.2.c. Existence. Nous montrons maintenant, en suivant [65], l’existence
et la généricité des champs de pseudo-gradients vérifiant la condition de
Smale.
Remarquons d’abord que, quitte à remplacer f par une autre fonction
arbitrairement proche au sens C
1 , on peut supposer qu’elle prend des valeurs
distinctes en tous ses points critiques. En effet, en dehors de Ω, on a (par
compacité) df (X) < −ε 0 pour un certain ε 0 > 0. On choisit alors une
fonction h qui soit constante sur chaque carte de Morse Ω i , vérifie |dh| <
1
2 ε 0
et telle que
f (c i ) + h(c i ) = f (c j ) + h(c j ) pour i = j.
La fonction f + h reste de Morse, avec les mêmes points critiques que f , le
champ de vecteurs X reste un pseudo-gradient adapté, les valeurs critiques
sont maintenant distinctes.
Théorème 2.2.5 (théorème de Smale [65]). Soit V une variété à bord et soit f
une fonction de Morse à valeurs critiques distinctes sur V . On fixe des cartes
(2) Dans les cas de l’« autre sphère » et du plan projectif, en vertu, par exemple, de
l’exercice 11 (page 48).
37
Exemples 2.2.4. Tous les exemples présentés ci-dessus satisfont à la condition
de Smale
(2) , sauf celui de la fonction hauteur sur le tore. En effet, les variétés
W
s (b) et W
u (c) ne sont pas transverses, comme on l’a déjà remarqué sans
le savoir (exemple 2.2.a et figure 10). D’ailleurs, on a des trajectoires de
gradient joignant deux points critiques d’indice 1, ce dont nous venons de
voir que c’est interdit. Ce « mauvais » champ de vecteurs est le gradient pour
la métrique riemannienne induite sur le tore par la métrique euclidienne
ambiante.
La condition de Smale interdit des lignes de champ comme celles montrées
sur la figure 15. La figure 16 montre les trajectoires d’un champ voisin
vérifiant la condition de Smale (obtenu par la méthode générale explicitée
dans le paragraphe suivant).
Figure 15
Figure 16
2.2.c. Existence. Nous montrons maintenant, en suivant [65], l’existence
et la généricité des champs de pseudo-gradients vérifiant la condition de
Smale.
Remarquons d’abord que, quitte à remplacer f par une autre fonction
arbitrairement proche au sens C
1 , on peut supposer qu’elle prend des valeurs
distinctes en tous ses points critiques. En effet, en dehors de Ω, on a (par
compacité) df (X) < −ε 0 pour un certain ε 0 > 0. On choisit alors une
fonction h qui soit constante sur chaque carte de Morse Ω i , vérifie |dh| <
1
2 ε 0
et telle que
f (c i ) + h(c i ) = f (c j ) + h(c j ) pour i = j.
La fonction f + h reste de Morse, avec les mêmes points critiques que f , le
champ de vecteurs X reste un pseudo-gradient adapté, les valeurs critiques
sont maintenant distinctes.
Théorème 2.2.5 (théorème de Smale [65]). Soit V une variété à bord et soit f
une fonction de Morse à valeurs critiques distinctes sur V . On fixe des cartes
(2) Dans les cas de l’« autre sphère » et du plan projectif, en vertu, par exemple, de
l’exercice 11 (page 48).