36
CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
Si le champ vérifie la condition de Smale, on a, pour tous points critiques a
et b,
codim(W
u (a) ∩ W
s (b)) = codim W
u (a) + codim W
s (b),
c’est-à-dire,
dim(W
u (a) ∩ W
s (b)) = Ind(a) − Ind(b).
Sous l’hypothèse faite, cette intersection est une sous-variété de V , que
nous noterons M(a, b). Elle est formée de tous les points qui sont sur les
trajectoires joignant a à b :
M(a, b) =
x ∈ V | lim
s→−∞
ϕ
s (x) = a et lim
s→+∞
ϕ
s (x) = b
.
Proposition 2.2.2. Le groupe R des translations dans le temps opère sur
M(a, b) par s · x = ϕ
s (x), librement si a = b.
Démonstration. Le fait qu’on ait affaire à une opération de groupe est clair.
Si a = b, il n’y a aucun point critique dans M(a, b). Soit x ∈ M(a, b).
Comme x n’est pas un point critique, on sait que f (ϕ
s (x)) est une fonction
strictement décroissante de s, si ϕ
s (x) = ϕ
s
(x), on a donc forcément s = s
.
Ainsi l’opération est libre.
Le quotient est donc une variété, que nous appellerons L(a, b) et
dim L(a, b) = Ind(a) − Ind(b) − 1.
Remarque 2.2.3. Il est clair que le quotient est un espace séparé. En fait, la
façon la plus commode de considérer ce quotient est la suivante. Si α est
une valeur de f comprise entre f (a) et f (b), alors M(a, b) est transverse
au niveau f
−1 (α) : ce niveau est de codimension 1 et le champ X lui est
transverse (par définition, il n’est pas tangent au niveau, ou l’on aurait
df (X) = 0 en un point non critique). Toutes les trajectoires issues de a
rencontrent ce niveau intermédiaire en exactement un point, de sorte que
L(a, b) s’identifie à M(a, b) ∩ f
−1 (α).
Donc, si a et b sont deux points critiques (distincts) et si le gradient
utilisé vérifie la condition de Smale, pour que M(a, b) ou L(a, b) ne soit pas
vide, il est nécessaire que
Ind(a) > Ind(b).
En d’autres termes, l’indice décroît le long des lignes de gradient.
Nous reviendrons longuement sur ces espaces dans le chapitre qui suit.
CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
Si le champ vérifie la condition de Smale, on a, pour tous points critiques a
et b,
codim(W
u (a) ∩ W
s (b)) = codim W
u (a) + codim W
s (b),
c’est-à-dire,
dim(W
u (a) ∩ W
s (b)) = Ind(a) − Ind(b).
Sous l’hypothèse faite, cette intersection est une sous-variété de V , que
nous noterons M(a, b). Elle est formée de tous les points qui sont sur les
trajectoires joignant a à b :
M(a, b) =
x ∈ V | lim
s→−∞
ϕ
s (x) = a et lim
s→+∞
ϕ
s (x) = b
.
Proposition 2.2.2. Le groupe R des translations dans le temps opère sur
M(a, b) par s · x = ϕ
s (x), librement si a = b.
Démonstration. Le fait qu’on ait affaire à une opération de groupe est clair.
Si a = b, il n’y a aucun point critique dans M(a, b). Soit x ∈ M(a, b).
Comme x n’est pas un point critique, on sait que f (ϕ
s (x)) est une fonction
strictement décroissante de s, si ϕ
s (x) = ϕ
s
(x), on a donc forcément s = s
.
Ainsi l’opération est libre.
Le quotient est donc une variété, que nous appellerons L(a, b) et
dim L(a, b) = Ind(a) − Ind(b) − 1.
Remarque 2.2.3. Il est clair que le quotient est un espace séparé. En fait, la
façon la plus commode de considérer ce quotient est la suivante. Si α est
une valeur de f comprise entre f (a) et f (b), alors M(a, b) est transverse
au niveau f
−1 (α) : ce niveau est de codimension 1 et le champ X lui est
transverse (par définition, il n’est pas tangent au niveau, ou l’on aurait
df (X) = 0 en un point non critique). Toutes les trajectoires issues de a
rencontrent ce niveau intermédiaire en exactement un point, de sorte que
L(a, b) s’identifie à M(a, b) ∩ f
−1 (α).
Donc, si a et b sont deux points critiques (distincts) et si le gradient
utilisé vérifie la condition de Smale, pour que M(a, b) ou L(a, b) ne soit pas
vide, il est nécessaire que
Ind(a) > Ind(b).
En d’autres termes, l’indice décroît le long des lignes de gradient.
Nous reviendrons longuement sur ces espaces dans le chapitre qui suit.