2.2. LA CONDITION DE SMALE
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vertical), W
s (c) (côté vertical) et W
u (c) (segment horizontal) alors que
W
s (d) est réduit à d. On remarquera que W
u (b) et W
s (c) ne se rencontrent
pas.
La hauteur sur l’« autre » sphère. À partir de la figure 13, les lecteurs pourront déterminer les variétés stables et instables des quatre points critiques
de la fonction hauteur (pour le gradient de la métrique induite par celle
de R
3 ).
a
b
c
d
Figure 13. L’autre sphère
a
b
c
a
Figure 14. Le plan projectif
La fonction de Morse sur P
2 (R). La figure 14 montre, elle, les variétés
stables et instables des trois points critiques a (minimum), b (indice 1) et c
(maximum) pour la fonction déjà considérée ci-dessus (dans l’exercice 6
page 18) sur le plan projectif réel P
2 (R).
2.2.b. La condition de Smale. On dit que le champ de pseudo-gradients
adapté à la fonction de Morse f satisfait à la condition de Smale si toutes
les variétés stables et instables de ses points critiques se rencontrent transversalement,
∀ a, b points critiques de f, W
u (a) W
s (b).
Remarque 2.2.1. Certaines variétés stables et instables particulières se
coupent toujours transversalement. Par exemple, on a toujours
– W
u (a) W
s (a) (pour le même point critique), c’est ce que l’on voit
dans une carte de Morse autour de a ;
– W
u (a) ∩ W
s (b) = ∅ si a et b sont distincts et f (a) ≤ f (b) (et en
particulier, ces variétés stables et instables sont transverses).