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CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
a
b
c
d
Figure 10. La hauteur sur
le tore
a
b
c
d
d
d
d
c
a
Figure 11. Un autre point
de vue sur la même
fonction, ce qui résout un exercice suggéré dans le chapitre précédent, ainsi
que quelques trajectoires du gradient.
b
d
c
a
Figure 12. Le tore, encore
La situation est un peu différente dans le cas de l’autre fonction de Morse
que nous avons rencontrée sur le tore T
2 , c’est-à-dire
f (x, y) = cos(2πx) + cos(2πy).
Notons encore a et d les extrema, b et c les points critiques d’indice 1. La
figure 12 représente les lignes de gradient reliant deux points critiques (on
utilise ici le gradient pour la métrique « plate » du tore, c’est-à-dire pour la
métrique habituelle de R
2 , comme on le voit, les lignes en question forment
d’authentiques angles droits avec les niveaux). On voit bien ici que W
s (a) est
le carré ouvert (donc un disque ouvert), que W
s (b) est un intervalle ouvert
(le côté horizontal du carré sur la figure) de même que W
u (b) (segment
CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
a
b
c
d
Figure 10. La hauteur sur
le tore
a
b
c
d
d
d
d
c
a
Figure 11. Un autre point
de vue sur la même
fonction, ce qui résout un exercice suggéré dans le chapitre précédent, ainsi
que quelques trajectoires du gradient.
b
d
c
a
Figure 12. Le tore, encore
La situation est un peu différente dans le cas de l’autre fonction de Morse
que nous avons rencontrée sur le tore T
2 , c’est-à-dire
f (x, y) = cos(2πx) + cos(2πy).
Notons encore a et d les extrema, b et c les points critiques d’indice 1. La
figure 12 représente les lignes de gradient reliant deux points critiques (on
utilise ici le gradient pour la métrique « plate » du tore, c’est-à-dire pour la
métrique habituelle de R
2 , comme on le voit, les lignes en question forment
d’authentiques angles droits avec les niveaux). On voit bien ici que W
s (a) est
le carré ouvert (donc un disque ouvert), que W
s (b) est un intervalle ouvert
(le côté horizontal du carré sur la figure) de même que W
u (b) (segment