2.2. LA CONDITION DE SMALE
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sur U (plutôt que sur Ω(a), pour alléger l’écriture) par
– sur la région 1 (figure 9), c’est-à-dire sur x −
2
≤ ε,
r t (x − , x + ) = (x − , tx + );
– sur la région 2, définie par ε ≤ ≤x −
2
≤ εx +
2 , on pose
r t (x − , x + ) = (x − , s t x + )
avec
s t = t + (1 − t)
x − 2 − ε
x +
le nombre ad hoc pour rendre les formules continues ;
– sur la région 3, qui correspond à V
α−ε et où x +
2 + ε ≤ ≤x −
2 , on
prend simplement r t = Id.
2.2. La condition de Smale
Revenons aux variétés stables et instables des points critiques.
2.2.a. Exemples de variétés stables et instables. Dans les exemples
considérés ci-dessus, voici les sous-variétés stables et instables de tous les
points critiques.
La hauteur sur la sphère ronde. Appelons a le minimum et b le maximum.
On a
W
s (a) = S
2
− {b} , W
u (a) = {a}
et de même
W
s (b) = {b} , W
u (b) = S
2
− {a}
(pour tout champ de pseudo-gradients).
Le tore. Commençons par la fonction hauteur sur le tore chambre à air.
Appelons les points critiques a, b, c, d, dans l’ordre des valeurs qu’y prend
la fonction (figure 10). Le champ de pseudo-gradients utilisé est simplement
le gradient pour la métrique induite par celle de R
3 . La variété stable de a
est constituée de tous les points qui descendent jusqu’à a, c’est-à-dire du
complémentaire des trajectoires dessinées sur la figure qui se terminent en b
ou en c. Ainsi W
s (a) est homéomorphe à un disque ouvert. La variété stable
de b est formée des deux trajectoires issues de c se terminant en b. Ainsi,
W
s (b) est difféomorphe à un intervalle ouvert. De même pour la variété
stable de c, qui est constituée des deux trajectoires issues de d que l’on voit
sur la figure. Il faut remarquer que, sur cet exemple (qui est là pour ça), la
variété instable de c et la variété stable de b ont en commun deux intervalles
ouverts. La figure 11 représente dans un carré quelques niveaux de la même
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sur U (plutôt que sur Ω(a), pour alléger l’écriture) par
– sur la région 1 (figure 9), c’est-à-dire sur x −
2
≤ ε,
r t (x − , x + ) = (x − , tx + );
– sur la région 2, définie par ε ≤ ≤x −
2
≤ εx +
2 , on pose
r t (x − , x + ) = (x − , s t x + )
avec
s t = t + (1 − t)
x − 2 − ε
x +
le nombre ad hoc pour rendre les formules continues ;
– sur la région 3, qui correspond à V
α−ε et où x +
2 + ε ≤ ≤x −
2 , on
prend simplement r t = Id.
2.2. La condition de Smale
Revenons aux variétés stables et instables des points critiques.
2.2.a. Exemples de variétés stables et instables. Dans les exemples
considérés ci-dessus, voici les sous-variétés stables et instables de tous les
points critiques.
La hauteur sur la sphère ronde. Appelons a le minimum et b le maximum.
On a
W
s (a) = S
2
− {b} , W
u (a) = {a}
et de même
W
s (b) = {b} , W
u (b) = S
2
− {a}
(pour tout champ de pseudo-gradients).
Le tore. Commençons par la fonction hauteur sur le tore chambre à air.
Appelons les points critiques a, b, c, d, dans l’ordre des valeurs qu’y prend
la fonction (figure 10). Le champ de pseudo-gradients utilisé est simplement
le gradient pour la métrique induite par celle de R
3 . La variété stable de a
est constituée de tous les points qui descendent jusqu’à a, c’est-à-dire du
complémentaire des trajectoires dessinées sur la figure qui se terminent en b
ou en c. Ainsi W
s (a) est homéomorphe à un disque ouvert. La variété stable
de b est formée des deux trajectoires issues de c se terminant en b. Ainsi,
W
s (b) est difféomorphe à un intervalle ouvert. De même pour la variété
stable de c, qui est constituée des deux trajectoires issues de d que l’on voit
sur la figure. Il faut remarquer que, sur cet exemple (qui est là pour ça), la
variété instable de c et la variété stable de b ont en commun deux intervalles
ouverts. La figure 11 représente dans un carré quelques niveaux de la même