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CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
Remarquons que le sous-niveau α + ε de F est exactement celui V
α+ε de f .
En effet,
– en dehors de x −
2 + 2x +
2
≤ 2ε, F = f ;
– à l’intérieur de l’ellipsoïde en question, on a
F (x) ≤ f (x) = α − −x −
2 + x +
2
≤ α +
1
2
x −
2 + x +
2
≤ α + ε.
De plus, les points critiques de F sont les mêmes que ceux de f , puisque
dF =
−1 − μ
(x −
2 + 2x +
2 )
<0
2x − · dx −
+
1 − 2μ
(x −
2 + 2x +
2 )
≥1
2x + · dx +
ne s’annule que pour x − = x + = 0, c’est-à-dire en a.
Nous savons maintenant que
F
−1 ([α − ε, α + ε]) ⊂ f
−1 ([α − ε, α + ε]),
en particulier, cette région est compacte. De plus, elle ne contient aucun
point critique de F : le seul possible serait a, mais
F (a) = α − μ(0) < α − ε.
On en déduit que F
−1 (]−∞, α+ε]) est un rétracte par déformation de V
α+ε .
Appelons H la partie hachurée horizontalement sur la figure 5 (et blanche
sur la figure 8), c’est-à-dire l’adhérence de F
−1 (] − ∞, α + ε]) − V
α−ε . On
a en particulier
F
−1 (] − ∞, α + ε]) = V
α−ε
∪ H.
La rétraction. On définit la rétraction en suivant les flèches indiquées sur
la figure 9. Précisément, r t est l’identité en dehors de Ω(a) et on définit r t
x −
x +
H
Figure 8
H
partie 1
partie 2
partie 3
Figure 9