2.1. GRADIENTS, PSEUDO-GRADIENTS ET CARTES DE MORSE
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α − ε
α + ε
a
Figure 5
x −
x +
Figure 6
Construction de F . On choisit une carte de Morse (U, h) au voisinage de a
et un ε > 0 assez petit pour que f
−1 ([α − ε, α + ε]) soit compact et pour
que U contienne la boule de centre 0 et de rayon
√
2ε. Le disque D
k est
la partie de U formée des (x − , x + ) tels que x −
2 < ε et x + = 0. Sur la
figure 5, comme sur la figure 6, le sous-niveau V
α−ε est hachuré obliquement
alors que f
−1 ([α − ε, α + ε]) est pointillé. La cellule, le disque D
k est en
trait gras.
On construit la fonction F en utilisant une fonction μ : [0, +∞[ →
[0, +∞[ de classe C
∞ , avec les propriétés suivantes :
– μ(0) > ε ;
– pour s ≥ 2ε, μ(s) = 0 ;
– pour tout s, −1 < μ
(s) ≤ 0.
ε
2ε
Figure 7. La fonction μ
On définit F par
F (x) =
f (x)
s i x ∈ Ω(a)
α − −x −
2 + x +
2 μ
x −
2 + 2x +
2
si x = h(x − , x + ).