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CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
critique de f que a. Alors, pour tout ε > 0 assez petit, l’espace V
α+ε a le
type d’homotopie de V
α−ε auquel on a ajouté une cellule de dimension k
(la variété instable de a).
Remarque 2.1.12. Ce théorème permet de justifier l’apparition, le parachutage, de la fonction de Morse sur P
n (C) dont il a été question dans
l’exercice 5 page 18.
Commençons par une description très naturelle de l’espace projectif
(disons complexe). C’est, comme tous les géomètres le savent, la réunion
d’un espace affine et d’un hyperplan « à l’infini ». En considérant les choses
à l’envers, on peut dire que l’espace projectif complexe P
n (C) est obtenu
à partir de P
n−1 (C) en lui ajoutant un C
n , ou un disque D
2n . De proche
en proche, ceci définit une « décomposition cellulaire » de P
n (C) : on
commence par un point (c’est P
0 , le point [1, 0, . . . , 0]), on ajoute un disque
de dimension (réelle) 2 (on a obtenu un P
1 (C), les [a, b, 0, . . . , 0]) et ainsi
de suite.
La fonction de Morse de l’exercice 5 permet cette reconstruction, comme
l’explique le théorème 2.1.11. On commence avec le minimum (c’est justement notre point [1, 0, . . . , 0]), où la fonction vaut 0. La première valeur
critique est ensuite 1, elle correspond au point critique [0, 1, 0, . . . , 0], qui
est d’indice 2... et permet d’attacher une cellule de dimension 2, et ainsi de
suite. En ce sens, cette fonction est « parfaite
(1) ».
Démonstration. Commençons par présenter les idées de la démonstration
en contemplant la figure 5. La cellule D
k est le morceau de variété instable
de a représenté sur cette figure. Ensuite :
(1) en modifiant f , on construit une fonction F qui coïncide avec f sauf
sur un voisinage de a, où F < f, de sorte que F
−1 (] − ∞, α − ε]) sera la
réunion de V
α−ε et d’un petit voisinage de a (la partie hachurée horizontalement sur la figure 5) ;
(2) ainsi, le théorème 2.1.7 et la remarque 2.1.8 appliqués à la fonction F
donnent la partie hachurée F
−1 (] − ∞, α + ε]) comme un rétracte de V
α+ε
(qui est aussi le sous-niveau α + ε pour la fonction modifiée F ) ;
(3) on peut alors se placer dans une carte de Morse pour montrer que
la partie de V constituée du morceau de variété instable et de V
α−ε est un
rétracte par déformation de F
−1 (] − ∞, α + ε]).
(1) Il y a aussi une définition mathématique précise de l’expression « fonction de Morse
parfaite », et celle considérée ici en est le prototype.
CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
critique de f que a. Alors, pour tout ε > 0 assez petit, l’espace V
α+ε a le
type d’homotopie de V
α−ε auquel on a ajouté une cellule de dimension k
(la variété instable de a).
Remarque 2.1.12. Ce théorème permet de justifier l’apparition, le parachutage, de la fonction de Morse sur P
n (C) dont il a été question dans
l’exercice 5 page 18.
Commençons par une description très naturelle de l’espace projectif
(disons complexe). C’est, comme tous les géomètres le savent, la réunion
d’un espace affine et d’un hyperplan « à l’infini ». En considérant les choses
à l’envers, on peut dire que l’espace projectif complexe P
n (C) est obtenu
à partir de P
n−1 (C) en lui ajoutant un C
n , ou un disque D
2n . De proche
en proche, ceci définit une « décomposition cellulaire » de P
n (C) : on
commence par un point (c’est P
0 , le point [1, 0, . . . , 0]), on ajoute un disque
de dimension (réelle) 2 (on a obtenu un P
1 (C), les [a, b, 0, . . . , 0]) et ainsi
de suite.
La fonction de Morse de l’exercice 5 permet cette reconstruction, comme
l’explique le théorème 2.1.11. On commence avec le minimum (c’est justement notre point [1, 0, . . . , 0]), où la fonction vaut 0. La première valeur
critique est ensuite 1, elle correspond au point critique [0, 1, 0, . . . , 0], qui
est d’indice 2... et permet d’attacher une cellule de dimension 2, et ainsi de
suite. En ce sens, cette fonction est « parfaite
(1) ».
Démonstration. Commençons par présenter les idées de la démonstration
en contemplant la figure 5. La cellule D
k est le morceau de variété instable
de a représenté sur cette figure. Ensuite :
(1) en modifiant f , on construit une fonction F qui coïncide avec f sauf
sur un voisinage de a, où F < f, de sorte que F
−1 (] − ∞, α − ε]) sera la
réunion de V
α−ε et d’un petit voisinage de a (la partie hachurée horizontalement sur la figure 5) ;
(2) ainsi, le théorème 2.1.7 et la remarque 2.1.8 appliqués à la fonction F
donnent la partie hachurée F
−1 (] − ∞, α + ε]) comme un rétracte de V
α+ε
(qui est aussi le sous-niveau α + ε pour la fonction modifiée F ) ;
(3) on peut alors se placer dans une carte de Morse pour montrer que
la partie de V constituée du morceau de variété instable et de V
α−ε est un
rétracte par déformation de F
−1 (] − ∞, α + ε]).
(1) Il y a aussi une définition mathématique précise de l’expression « fonction de Morse
parfaite », et celle considérée ici en est le prototype.