2.1. GRADIENTS, PSEUDO-GRADIENTS ET CARTES DE MORSE
29
0
ε
1 − ε
1
Figure 4. Le théorème de Reeb
disques recollés le long de leur bord. Il est classique que V est alors homéomorphe à une sphère : on écrit explicitement une application
h : D
n
1 ∪ Id D
n
2 −→ D
n
1 ∪ ϕ D
n
2
par
h(x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x
si x ∈ D
n
1
x ϕ(x/x) si x ∈ D
n
2 − {0}
0
s i x = 0 ∈ D
n
2 .
C’est un homéomorphisme de la sphère standard (où les deux disques sont
recollés par l’application identique sur S
n−1 ) sur notre variété (où les deux
disques sont recollés par le difféomorphisme ϕ).
Remarques 2.1.10. D’abord, le théorème reste vrai si les deux points critiques ne sont pas supposés non dégénérés. Ensuite, il n’est pas vrai que
la variété V soit difféomorphe à une sphère, c’est même un argument important dans la construction de variétés homéomorphes à des sphères sans
leur être difféomorphes. Pour ces deux résultats, voir les références dans le
livre [47, p. 25].
2.1.f. Topologie des sous-niveaux — quand on traverse une valeur
critique. La topologie du niveau comme celle du sous-niveau va changer.
Le théorème ci-dessous exprime comment.
Théorème 2.1.11. Soit f : V → R une fonction. Soit a un point critique non
dégénéré d’indice k de f et soit α = f (a). On suppose que pour un ε > 0
assez petit, f
−1 ([α − ε, α + ε]) est compact et ne contient pas d’autre point