28
CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
Théorème 2.1.7. Soient a et b deux nombres réels tels que f n’ait pas de valeur critique dans l’intervalle [a, b]. On suppose que f
−1 ([a, b]) est compact.
Alors V
b est difféomorphe à V
a .
Démonstration. On utilise le flot d’un pseudo-gradient X pour rétracter V
b
sur V
a . Fixons une fonction ρ : V → R qui vaut
⎧
⎨
⎩
−
1
(df ) x (X)
sur f
−1 ([a, b])
0
en dehors d’un voisinage compact de cette partie.
Le champ de vecteurs Y = ρX est nul en dehors d’un compact, de sorte
que son flot ψ
s est défini pour tout s ∈ R. Pour x ∈ V un point fixé, on
considère la fonction de variable réelle s → f ◦ ψ
s (x). Si ψ
s (x) ∈ f
−1 ([a, b]),
on a
d
ds
f ◦ ψ
s (x) = (df ) ψ s (x)
d
ds
ψ
s (x)
= (df ) ψ s (x)
Y ψ s (x)
= −1.
Ainsi, pour ψ
s (x) ∈ f
−1 ([a, b]), on a
f ◦ ψ
s (x) = −s + f (x).
On en déduit que le difféomorphisme ψ
b−a de V envoie V
b sur V
a .
Remarque 2.1.8. L’application
r : V
b
× [0, 1] −→ V
b
(x, s) −→
x
si f (x) ≤ a
ψ
s(f (x)−a) (x) si a ≤ f (x) ≤ b
est une rétraction par déformation de V
b sur V
a , c’est-à-dire que r 0 = Id,
que r t est constamment égale à l’inclusion sur V
a et que r 1 a pour image V
a .
On a donc démontré, aussi, que V
a est un rétracte par déformation de V
a .
Corollaire 2.1.9 (le théorème de Reeb). Soit V une variété compacte. On
suppose qu’il existe une fonction de Morse sur V qui n’a que deux points
critiques. Alors V est homéomorphe à une sphère.
Démonstration. Les deux points critiques sont forcément le minimum et le
maximum. On peut supposer que f (V ) = [0, 1]. Alors, pour ε > 0 assez
petit, le lemme de Morse garantit que f
−1 ([0, ε]) et f
−1 ([1 − ε, 1]) sont des
disques D
n . Grâce au théorème 2.1.7, les sous-niveaux V
ε et V
1−ε sont difféomorphes. Donc V
1−ε est aussi un disque D
n et V est réunion de deux
CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
Théorème 2.1.7. Soient a et b deux nombres réels tels que f n’ait pas de valeur critique dans l’intervalle [a, b]. On suppose que f
−1 ([a, b]) est compact.
Alors V
b est difféomorphe à V
a .
Démonstration. On utilise le flot d’un pseudo-gradient X pour rétracter V
b
sur V
a . Fixons une fonction ρ : V → R qui vaut
⎧
⎨
⎩
−
1
(df ) x (X)
sur f
−1 ([a, b])
0
en dehors d’un voisinage compact de cette partie.
Le champ de vecteurs Y = ρX est nul en dehors d’un compact, de sorte
que son flot ψ
s est défini pour tout s ∈ R. Pour x ∈ V un point fixé, on
considère la fonction de variable réelle s → f ◦ ψ
s (x). Si ψ
s (x) ∈ f
−1 ([a, b]),
on a
d
ds
f ◦ ψ
s (x) = (df ) ψ s (x)
d
ds
ψ
s (x)
= (df ) ψ s (x)
Y ψ s (x)
= −1.
Ainsi, pour ψ
s (x) ∈ f
−1 ([a, b]), on a
f ◦ ψ
s (x) = −s + f (x).
On en déduit que le difféomorphisme ψ
b−a de V envoie V
b sur V
a .
Remarque 2.1.8. L’application
r : V
b
× [0, 1] −→ V
b
(x, s) −→
x
si f (x) ≤ a
ψ
s(f (x)−a) (x) si a ≤ f (x) ≤ b
est une rétraction par déformation de V
b sur V
a , c’est-à-dire que r 0 = Id,
que r t est constamment égale à l’inclusion sur V
a et que r 1 a pour image V
a .
On a donc démontré, aussi, que V
a est un rétracte par déformation de V
a .
Corollaire 2.1.9 (le théorème de Reeb). Soit V une variété compacte. On
suppose qu’il existe une fonction de Morse sur V qui n’a que deux points
critiques. Alors V est homéomorphe à une sphère.
Démonstration. Les deux points critiques sont forcément le minimum et le
maximum. On peut supposer que f (V ) = [0, 1]. Alors, pour ε > 0 assez
petit, le lemme de Morse garantit que f
−1 ([0, ε]) et f
−1 ([1 − ε, 1]) sont des
disques D
n . Grâce au théorème 2.1.7, les sous-niveaux V
ε et V
1−ε sont difféomorphes. Donc V
1−ε est aussi un disque D
n et V est réunion de deux