2.1. GRADIENTS, PSEUDO-GRADIENTS ET CARTES DE MORSE
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fonction f : toutes les trajectoires viennent d’un point critique et vont vers
un autre point critique.
Proposition 2.1.6. On suppose que la variété V est compacte. Soit γ : R → V
une trajectoire du champ de pseudo-gradients X. Alors il existe des points
critiques c et d de f tels que
lim
s→−∞
γ(s) = c et
lim
s→+∞
γ(s) = d.
Démonstration. Montrons que γ(t) a une limite quand t tend vers +∞ (par
exemple) et que cette limite est un point critique. Il nous faut prouver que
γ(t) atteint S + (d) = ∂ + Ω(d) ∩ W
s (d) pour un certain point critique d de f .
Supposons que ce ne soit pas vrai. Alors, chaque fois que la trajectoire γ
pénètre dans un voisinage de Morse, elle doit en ressortir, sans jamais pouvoir y revenir puisque f décroît le long de γ. Appelons s 0 le temps pour
lequel γ sort pour la dernière fois de la réunion (finie) des cartes de Morse
des points critiques,
Ω =
c∈Crit(f )
Ω(c)
(Crit(f ) désigne bien sûr l’ensemble des points critiques de la fonction f ).
Il existe donc un ε 0 > 0 tel que
∀ x ∈ V − Ω, (df ) x (X x ) ≤ −ε 0 .
Donc, pour tout s ≥ s 0 ,
f (γ(s)) − f (γ(s 0 )) =
s
s 0
d(f ◦ γ)
du
du
=
s
s 0
(df ) γ(u) (X γ(u) )du
≤ −ε 0 (s − s 0 ),
de sorte que
lim
t→+∞
f (γ(s)) = −∞,
ce qui est absurde.
2.1.e. Topologie des sous-niveaux — quand on ne traverse pas de
valeur critique. La topologie des niveaux ne change pas tant qu’on ne
traverse pas de valeur critique. Il en est de même de celle des sous-niveaux.
Désignons par
V
a = f
−1 (] − ∞, a])
le sous-niveau a de f . On a dit § 14.2.c que, si a est une valeur régulière, V
a
est une variété à bord.