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CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
Ainsi les variétés stable et, de même, instable sont des sous-variétés : en
dehors du point critique, c’est l’image du plongement (x, s) → ϕ
s (x) et au
voisinage du point critique, c’est l’image de V + . Cet argument montre aussi
que W
s (a) est difféomorphe à un disque de dimension n − k (et de même
W
u (a) à un disque de dimension k) : W
s (a) s’obtient en compactifiant
S
n−k−1
× R par l’ajout de l’unique « point à l’infini » a, ou encore, c’est le
quotient de S
n−k−1
× ] − ∞, +∞] par la relation d’équivalence qui identifie
à un unique point la sphère S
n−k−1
× {+∞}.
W
s (a)
a
x
ϕ
s (x) pour s ≥ 0
ϕ
s (x) pour s ≤ 0
+∞
0
−∞
R
S
n−k−1
W
s (a)
Figure 3. Variétés stables
Nous avons donc démontré :
Proposition 2.1.5. La variété instable et la variété instable du point critique a
sont des sous-variétés de V difféomorphes à des disques ouverts. De plus
on a
dim W
u (a) = codim W
s (a) = Ind(a).
Ici, Ind(a) désigne l’indice du point a comme point critique de f .
Trajectoires du champ de pseudo-gradients. Notons ϕ
s
X ou ϕ
s le flot du
pseudo-gradient X. La propriété la plus importante des lignes de flot, des
trajectoires du champ X est que toutes relient des points critiques de la