2.1. GRADIENTS, PSEUDO-GRADIENTS ET CARTES DE MORSE
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de l’opposé du gradient). De plus, X j ne s’annule qu’au point critique de f
sur U j (pour j ≤ r).
Utilisons ensuite une partition de l’unité (ϕ j ) j associée au recouvrement
(Ω j ) j , ce qui permet d’étendre les champs locaux X j en des champs
X j
définis sur V tout entière par
X j (x) =
ϕ j (x)X j (x) si x ∈ Ω j
0
sinon.
Il ne reste plus qu’à poser
X =
N
j=1
X j .
Le champ X ainsi défini est bien un pseudo-gradient adapté à f , puisque,
en effet
(df ) x (X x ) =
N
j=1
(df ) x ((
X j ) x ) ≤ 0.
Si cette inégalité est une égalité, ϕ j (x)X j (x) = 0 pour tout j, donc, soit x
est critique, soit ϕ j (x) = 0 pour tout j (ce qui est absurde).
Soit c i un des points critiques de f . Par construction, X coïncide avec
l’image du gradient euclidien sur le complémentaire dans U i de la réunion
des autres ouverts U j , lequel complémentaire est un voisinage de c i qui
contient une petite carte de Morse au voisinage de c i .
2.1.d. Sous-variétés stables et instables. Soit a un point critique de f .
On définit ses variétés stable
W
s (a) =
x ∈ V | lim
s→+∞
ϕ
s (x) = a
et instable
W
u (a) =
x ∈ V | lim
s→−∞
ϕ
s (x) = a
.
Dans un ouvert U = U (ε, η) de R
n comme considéré au § 2.1.b, on a
W
s (0) = U ∩ V + et W
u (0) = U ∩ V − .
Avec les notations de 2.1.b, la variété stable de a est obtenue à partir de la
réunion de h(U ∩ V + ) = h(W
s (0)) et de
h(∂ + U ∩ V + ) × R
en identifiant (x, s), pour x dans le bord et s ≥ 0, à ϕ
s (x). Voir la figure 3.
Si k est l’indice du point critique a, h(∂ + U ∩V + ) est une sphère de dimension
n − k − 1, c’est l’image par le difféomorphisme h de la sphère x +
2 = ε de
l’espace V + (espace vectoriel de dimension n − k).
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de l’opposé du gradient). De plus, X j ne s’annule qu’au point critique de f
sur U j (pour j ≤ r).
Utilisons ensuite une partition de l’unité (ϕ j ) j associée au recouvrement
(Ω j ) j , ce qui permet d’étendre les champs locaux X j en des champs
X j
définis sur V tout entière par
X j (x) =
ϕ j (x)X j (x) si x ∈ Ω j
0
sinon.
Il ne reste plus qu’à poser
X =
N
j=1
X j .
Le champ X ainsi défini est bien un pseudo-gradient adapté à f , puisque,
en effet
(df ) x (X x ) =
N
j=1
(df ) x ((
X j ) x ) ≤ 0.
Si cette inégalité est une égalité, ϕ j (x)X j (x) = 0 pour tout j, donc, soit x
est critique, soit ϕ j (x) = 0 pour tout j (ce qui est absurde).
Soit c i un des points critiques de f . Par construction, X coïncide avec
l’image du gradient euclidien sur le complémentaire dans U i de la réunion
des autres ouverts U j , lequel complémentaire est un voisinage de c i qui
contient une petite carte de Morse au voisinage de c i .
2.1.d. Sous-variétés stables et instables. Soit a un point critique de f .
On définit ses variétés stable
W
s (a) =
x ∈ V | lim
s→+∞
ϕ
s (x) = a
et instable
W
u (a) =
x ∈ V | lim
s→−∞
ϕ
s (x) = a
.
Dans un ouvert U = U (ε, η) de R
n comme considéré au § 2.1.b, on a
W
s (0) = U ∩ V + et W
u (0) = U ∩ V − .
Avec les notations de 2.1.b, la variété stable de a est obtenue à partir de la
réunion de h(U ∩ V + ) = h(W
s (0)) et de
h(∂ + U ∩ V + ) × R
en identifiant (x, s), pour x dans le bord et s ≥ 0, à ϕ
s (x). Voir la figure 3.
Si k est l’indice du point critique a, h(∂ + U ∩V + ) est une sphère de dimension
n − k − 1, c’est l’image par le difféomorphisme h de la sphère x +
2 = ε de
l’espace V + (espace vectoriel de dimension n − k).