24
CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
réguliers positifs et deux niveaux réguliers négatifs, des trajectoires de gradient limitant la carte ainsi que les trajectoires de l’opposé du gradient qui
aboutissent ou commencent au point critique.
Si a est un point critique de la fonction f , un voisinage de a est décrit par
le lemme de Morse comme image par un difféomorphisme h d’un U (ε, η).
Un tel voisinage sera noté Ω(a). Nous noterons aussi
∂ ± Ω(a) = h(∂ ± U ), ∂ 0 Ω = h(∂ 0 U ),
etc. Nous allons essayer d’utiliser, de façon cohérente, comme sur la figure 2,
les notations
– Ω pour les images des cartes (Ω est une partie de la variété),
– et U pour les ouverts de cartes, les modèles (U est une partie de R
n ).
2.1.c. Existence de champs de pseudo-gradients. Il existe des
champs de pseudo-gradients pour toutes les fonctions de Morse sur toutes
les variétés. C’est, par exemple, une conséquence du fait qu’il existe des métriques riemanniennes et plus précisément, du fait qu’il existe des métriques
riemanniennes ayant une forme prescrite sur une partie (un voisinage des
points critiques) donnée de la variété et c’est, en tout cas, une conséquence
simple de l’existence de partitions de l’unité, comme nous le montrons
maintenant.
Démonstration de l’existence de pseudo-gradients. Appelons c 1 , . . . , c r les
points critiques de f sur la variété V (ils sont en nombre fini parce que V
est compacte et que les points critiques d’une fonction de Morse sont isolés)
et (U 1 , h 1 ), . . . , (U r , h r ) des cartes de Morse au voisinage de ces points. Les
ouverts images Ω j sont bien entendu supposés disjoints. Complétons les en
un recouvrement ouvert (Ω j ) 1≤j≤N fini de V par des images d’ouverts de
cartes (U j , h j ). On peut supposer (et donc nous supposons) que le point
critique c i est dans le seul ouvert Ω i de ce recouvrement.
Si g est une fonction définie sur un ouvert de R
n , considérons grad g, son
gradient pour la métrique euclidienne standard de R
n . Définissons pour
chaque indice j un champ X j sur l’ouvert Ω j en ramenant sur V le gradient
de f ◦ h j , c’est-à-dire par la formule
X j (x) = −(T h
−1
j
(x) h j )(grad h
−1
j
(x) (f ◦ h j ))
(la formule a l’air compliquée, mais l’objet lui-même est très simple : nous
avons pris le gradient de la fonction f ◦ h j , un champ de vecteurs sur U j ,
et l’avons transformé, de la manière naturelle, en un champ de vecteurs
sur Ω j ). Par définition même, X j · f ≤ 0 sur Ω j (c’est une des propriétés
CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
réguliers positifs et deux niveaux réguliers négatifs, des trajectoires de gradient limitant la carte ainsi que les trajectoires de l’opposé du gradient qui
aboutissent ou commencent au point critique.
Si a est un point critique de la fonction f , un voisinage de a est décrit par
le lemme de Morse comme image par un difféomorphisme h d’un U (ε, η).
Un tel voisinage sera noté Ω(a). Nous noterons aussi
∂ ± Ω(a) = h(∂ ± U ), ∂ 0 Ω = h(∂ 0 U ),
etc. Nous allons essayer d’utiliser, de façon cohérente, comme sur la figure 2,
les notations
– Ω pour les images des cartes (Ω est une partie de la variété),
– et U pour les ouverts de cartes, les modèles (U est une partie de R
n ).
2.1.c. Existence de champs de pseudo-gradients. Il existe des
champs de pseudo-gradients pour toutes les fonctions de Morse sur toutes
les variétés. C’est, par exemple, une conséquence du fait qu’il existe des métriques riemanniennes et plus précisément, du fait qu’il existe des métriques
riemanniennes ayant une forme prescrite sur une partie (un voisinage des
points critiques) donnée de la variété et c’est, en tout cas, une conséquence
simple de l’existence de partitions de l’unité, comme nous le montrons
maintenant.
Démonstration de l’existence de pseudo-gradients. Appelons c 1 , . . . , c r les
points critiques de f sur la variété V (ils sont en nombre fini parce que V
est compacte et que les points critiques d’une fonction de Morse sont isolés)
et (U 1 , h 1 ), . . . , (U r , h r ) des cartes de Morse au voisinage de ces points. Les
ouverts images Ω j sont bien entendu supposés disjoints. Complétons les en
un recouvrement ouvert (Ω j ) 1≤j≤N fini de V par des images d’ouverts de
cartes (U j , h j ). On peut supposer (et donc nous supposons) que le point
critique c i est dans le seul ouvert Ω i de ce recouvrement.
Si g est une fonction définie sur un ouvert de R
n , considérons grad g, son
gradient pour la métrique euclidienne standard de R
n . Définissons pour
chaque indice j un champ X j sur l’ouvert Ω j en ramenant sur V le gradient
de f ◦ h j , c’est-à-dire par la formule
X j (x) = −(T h
−1
j
(x) h j )(grad h
−1
j
(x) (f ◦ h j ))
(la formule a l’air compliquée, mais l’objet lui-même est très simple : nous
avons pris le gradient de la fonction f ◦ h j , un champ de vecteurs sur U j ,
et l’avons transformé, de la manière naturelle, en un champ de vecteurs
sur Ω j ). Par définition même, X j · f ≤ 0 sur Ω j (c’est une des propriétés