2.1. GRADIENTS, PSEUDO-GRADIENTS ET CARTES DE MORSE
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hauteur). Fixons quelques notations. Dans R
n , la forme quadratique Q est
définie négative sur V − , sous-espace de dimension i, définie positive sur V + .
Nous notons
U (ε, η) =
x ∈ R
n
| −ε < Q(x) < ε et x −
2
x +
2
≤ η(ε + η)
.
Puisque nous sommes dans R
n , la fonction Q a un gradient, précisément,
ici,
− grad (x−,x+) Q = 2(x − , −x + ).
Le bord de U (ε, η) est formé de trois parties :
– deux parties des sous-ensembles de niveau de Q,
∂ ± U =
x ∈ U | Q(x) = ±ε et x ∓
2
≤ η
;
– un ensemble de morceaux de trajectoires du gradient grad Q,
∂ 0 U =
x ∈ ∂U | |x −
2
x +
2 = η(ε + η)
.
Voir la figure 2. Ce sont les notations de [38], que nous utilisons ici.
x −
x +
∂ 0 U
U
Ω(a)
a
h
∂ − U
∂ + U
Figure 2. Une carte de Morse
Remarque 2.1.4. D’après la définition du gradient dans R
n , les trajectoires
du gradient sont orthogonales aux niveaux de la fonction (l’espace tangent
à un niveau est le noyau de la différentielle de la fonction). Ce n’est donc
pas par hasard que, sur le modèle représenté sur la figure 2, les unes et
les autres apparaissent comme des hyperboles équilatères de deux familles
orthogonales.
On contemplera avec profit les deux parties de la figure. Sur les deux ont
été indiqués le niveau critique (disons que c’est le niveau 0), deux niveaux