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CHAPITRE 2. PSEUDO-GRADIENTS
Remarque 2.1.1. Plus généralement, si la variété V est munie d’une métrique
riemannienne (voir le 14.5), une fonction sur V possède aussi un gradient
défini par la même formule
grad x f, Y = (df ) x (Y )
pour tout Y ∈ T x V .
Remarque 2.1.2. C’est sans doute la conjonction des terminologies « flot »
et « hauteur » qui est à la source (si l’on ose dire) de la tradition (récente)
d’utiliser l’opposé du gradient : le flot descend. Nous nous sommes conformés
à cette convention, comme [60] et [41], mais pas comme [38].
Soit f : V → R une fonction de Morse sur une variété V . On appelle
champ de pseudo-gradients ou pseudo-gradient adapté à f tout champ de
vecteurs X sur V tel que
(1) on ait (df ) x (X x ) ≤ 0 avec égalité si et seulement si x est un point
critique ;
(2) dans une carte de Morse au voisinage d’un point critique, X coïncide
avec l’opposé du gradient pour la métrique canonique de R
n .
Remarque 2.1.3. Un pseudo-gradient est donc un champ de vecteurs assez
particulier. Voir dans l’exercice 10 page 48 des champs de vecteurs qui n’en
sont pas.
Figure 1. Maximum et minimum
2.1.b. Cartes de Morse. Cette notion permet de préciser les cartes de
Morse en y faisant figurer les trajectoires d’un champ de pseudo-gradients X.
Par exemple, la figure 1 montre, enfin, la différence entre un maximum (à
gauche) et un minimum (à droite).
La figure 2 représente une carte de Morse pour un point critique d’indice i.
La carte à proprement parler, le modèle dans R
n , est représentée à gauche.
À droite, c’est l’image dans la variété qui est figurée (la fonction est la