CHAPITRE 2
PSEUDO-GRADIENTS
Dans ce chapitre, nous définissons, construisons et étudions les champs
de pseudo-gradient, dont les trajectoires relient les points critiques d’une
fonction de Morse. Ces champs permettent de définir les variétés stables
et instables des points critiques, qui vont jouer un rôle important. Nous
dégageons la « propriété de Smale » grâce à laquelle, par exemple, il n’y
a qu’un nombre fini de trajectoires joignant deux points critiques d’indices
consécutifs et nous démontrons l’existence de champs de pseudo-gradient
satisfaisant à cette propriété.
2.1. Gradients, pseudo-gradients et cartes de Morse
2.1.a. Gradients et pseudo-gradients. Si f est une fonction définie
sur R
n , on est habitué à utiliser son gradient, le champ de vecteurs grad f
dont les coordonnées dans la base canonique de R
n sont
grad x f =
∂f
∂x 1
, . . . ,
∂f
∂x n
.
De façon plus compacte, c’est (aussi) le champ de vecteurs défini par
grad x f, Y = (df ) x (Y )
pour tout vecteur Y ∈ R
n (bien sûr les crochets , désignent le produit
scalaire euclidien habituel de R
n ). Les propriétés les plus importantes de ce
champ de vecteurs sont dues au fait que ce produit scalaire est une forme
bilinéaire symétrique définie positive et sont :
(1) il s’annule exactement en les points critiques de la fonction f ;
(2) la fonction f décroît strictement le long des lignes de flot du champ
− grad f :
d
ds
(f (ϕ
s (x))) = −− grad ϕ s (x) f
2 < 0.