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CHAPITRE 1. FONCTIONS DE MORSE
compact K de a. Pour ϕ = df ∈ F, on définit
F : U × (R
n )
−→ R
(x, A) −→ f (x) + α(x)A · x.
Calculer
(3) (D 1 F ) (x,A) pour x ∈ K et montrer que F est une submersion
K × (R
n )
−→ (R
n )
.
Montrer que F est localement transversale à {0} (au sens du § 14.3.c).
(3) Montrer que tout point a de V possède un voisinage compact K tel
que l’ensemble des fonctions f : V → R dont les points critiques dans K
sont non dégénérés est dense dans C
∞ (V ; R).
(4) En déduire une démonstration du théorème 1.2.5.
(3) Si f est une fonction de deux arguments (u, v) ∈ U × V ⊂ E × F , nous désignons par
(D 1 f ) (u,v) l’application linéaire
(D 1 f ) (u,v) : E −→ R,
différentielle partielle de f par rapport à la première variable. De même pour (D 2 f ) (u,v) .
CHAPITRE 1. FONCTIONS DE MORSE
compact K de a. Pour ϕ = df ∈ F, on définit
F : U × (R
n )
−→ R
(x, A) −→ f (x) + α(x)A · x.
Calculer
(3) (D 1 F ) (x,A) pour x ∈ K et montrer que F est une submersion
K × (R
n )
−→ (R
n )
.
Montrer que F est localement transversale à {0} (au sens du § 14.3.c).
(3) Montrer que tout point a de V possède un voisinage compact K tel
que l’ensemble des fonctions f : V → R dont les points critiques dans K
sont non dégénérés est dense dans C
∞ (V ; R).
(4) En déduire une démonstration du théorème 1.2.5.
(3) Si f est une fonction de deux arguments (u, v) ∈ U × V ⊂ E × F , nous désignons par
(D 1 f ) (u,v) l’application linéaire
(D 1 f ) (u,v) : E −→ R,
différentielle partielle de f par rapport à la première variable. De même pour (D 2 f ) (u,v) .