EXERCICES
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Figure 7. Une fonction de Morse sur le plan projectif réel
Montrer que Q est une sous-variété compacte de dimension (réelle) 4 de la
variété P
3 (C).
On écrit z j = x j + iy j (pour 0 ≤ j ≤ 3) et z = x + iy pour z ∈ C
4 , avec
x, y ∈ R
4 . On fixe deux nombres réels λ et μ et l’on pose, pour z ∈ C
4 ,
f (z) = λ(x 0 y 1 − x 1 y 0 ) + μ(x 2 y 3 − x 3 y 2 ).
Vérifier que, pour |u| = 1, on a
f (uz) =
f (z)
et en déduire que
f définit une fonction
f : P
3 (C) −→ R.
On suppose que les réels λ et μ figurant dans la définition de f vérifient
0 < λ < μ. On appelle g la restriction de f à Q. Montrer que g est une
fonction de Morse qui a un minimum local, un maximum local, deux points
critiques d’indice 2.
Exercice 9. Dans cet exercice, nous proposons une autre démonstration
de l’existence de nombreuses fonctions de Morse sur une variété et plus
précisément du théorème 1.2.5.
(1) En utilisant, par exemple, l’exercice 2 (page 17), montrer que l’ensemble des fonctions de Morse sur la variété compacte V est ouvert pour la
topologie C
2 , et donc aussi pour la topologie C
∞ .
(2) Soit a ∈ V et soit U un ouvert de carte centré en a. On appelle F l’espace des différentielles des fonctions définies sur U (ou des 1-formes exactes),
considéré comme une partie de C
∞ (U ; (R
n )
) (pour chaque x ∈ U , (df ) x
est une forme linéaire sur R
n ). On remarquera que F n’est pas un ouvert.
Soit α une fonction plateau à support dans U et qui vaut 1 sur un voisinage
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Figure 7. Une fonction de Morse sur le plan projectif réel
Montrer que Q est une sous-variété compacte de dimension (réelle) 4 de la
variété P
3 (C).
On écrit z j = x j + iy j (pour 0 ≤ j ≤ 3) et z = x + iy pour z ∈ C
4 , avec
x, y ∈ R
4 . On fixe deux nombres réels λ et μ et l’on pose, pour z ∈ C
4 ,
f (z) = λ(x 0 y 1 − x 1 y 0 ) + μ(x 2 y 3 − x 3 y 2 ).
Vérifier que, pour |u| = 1, on a
f (uz) =
f (z)
et en déduire que
f définit une fonction
f : P
3 (C) −→ R.
On suppose que les réels λ et μ figurant dans la définition de f vérifient
0 < λ < μ. On appelle g la restriction de f à Q. Montrer que g est une
fonction de Morse qui a un minimum local, un maximum local, deux points
critiques d’indice 2.
Exercice 9. Dans cet exercice, nous proposons une autre démonstration
de l’existence de nombreuses fonctions de Morse sur une variété et plus
précisément du théorème 1.2.5.
(1) En utilisant, par exemple, l’exercice 2 (page 17), montrer que l’ensemble des fonctions de Morse sur la variété compacte V est ouvert pour la
topologie C
2 , et donc aussi pour la topologie C
∞ .
(2) Soit a ∈ V et soit U un ouvert de carte centré en a. On appelle F l’espace des différentielles des fonctions définies sur U (ou des 1-formes exactes),
considéré comme une partie de C
∞ (U ; (R
n )
) (pour chaque x ∈ U , (df ) x
est une forme linéaire sur R
n ). On remarquera que F n’est pas un ouvert.
Soit α une fonction plateau à support dans U et qui vaut 1 sur un voisinage