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CHAPITRE 1. FONCTIONS DE MORSE
Étudier le point critique (0, 0). Est-il non dégénéré ? Dessiner quelques niveaux réguliers de la fonction f ainsi que son graphe.
Exercice 4. Si f : V → R et g : W → R sont des fonctions de Morse, alors
f + g : V × W → R est aussi une fonction de Morse dont les points critiques
sont les couples de points critiques de f et g.
Exercice 5 (sur l’espace projectif complexe). La fonction définie sur
C
n+1
−{0} par
f (z 0 , . . . , z n ) =
n
j=0 j |z j |
2
n
j=0 |z j |
2
passe au quotient pour définir une fonction, toujours notée f , sur l’espace
projectif complexe P
n (C).
Vérifier que c’est une fonction de Morse dont les points critiques sont les
points [1, 0, . . . , 0] (d’indice 0), [0, 1, 0, . . . , 0] (d’indice 2) et ainsi de suite
jusqu’à [0, . . . , 0, 1] (d’indice 2n).
Les lecteurs désireux de savoir d’où peut bien venir cette fonction (de [47],
bien sûr, mais avant ?) pourront se reporter à la remarque 2.1.12.
Exercice 6 (sur la sphère et sur le plan projectif réel). Avec essentiellement
la même formule, considérons ici la fonction
f : S
2
−→ R
(x, y, z) −→ y
2 + 2z
2
et la fonction g : P
2 (R) → R sur le plan projectif réel qui s’en déduit par
passage au quotient. Vérifier que la fonction f est de Morse (et donc que g
aussi), montrer qu’elle a six points critiques (et donc que g en a trois) qui
sont
– deux points d’indice 0, les points (±1, 0, 0), au niveau 0 ;
– deux points d’indice 1, les points (0, ±1, 0), au niveau 1 ;
– deux points d’indice 2, les points (0, 0, ±1), au niveau 2.
La figure 7 représente quelques niveaux de cette fonction sur la sphère.
Le niveau critique contenant les deux points d’indice 1 est formé des deux
cercles intersections de la sphère avec les plans z = ±x.
Exercice 7. Dessiner dans un carré les niveaux de la fonction hauteur sur le
tore « chambre à air » (la réponse figure quelque part dans ce texte).
Exercice 8 (une quadrique projective). On considère la « quadrique » Q de
P
3 (C) définie par l’équation
z
2
0 + z
2
1 + z
2
2 + z
2
3 = 0.
CHAPITRE 1. FONCTIONS DE MORSE
Étudier le point critique (0, 0). Est-il non dégénéré ? Dessiner quelques niveaux réguliers de la fonction f ainsi que son graphe.
Exercice 4. Si f : V → R et g : W → R sont des fonctions de Morse, alors
f + g : V × W → R est aussi une fonction de Morse dont les points critiques
sont les couples de points critiques de f et g.
Exercice 5 (sur l’espace projectif complexe). La fonction définie sur
C
n+1
−{0} par
f (z 0 , . . . , z n ) =
n
j=0 j |z j |
2
n
j=0 |z j |
2
passe au quotient pour définir une fonction, toujours notée f , sur l’espace
projectif complexe P
n (C).
Vérifier que c’est une fonction de Morse dont les points critiques sont les
points [1, 0, . . . , 0] (d’indice 0), [0, 1, 0, . . . , 0] (d’indice 2) et ainsi de suite
jusqu’à [0, . . . , 0, 1] (d’indice 2n).
Les lecteurs désireux de savoir d’où peut bien venir cette fonction (de [47],
bien sûr, mais avant ?) pourront se reporter à la remarque 2.1.12.
Exercice 6 (sur la sphère et sur le plan projectif réel). Avec essentiellement
la même formule, considérons ici la fonction
f : S
2
−→ R
(x, y, z) −→ y
2 + 2z
2
et la fonction g : P
2 (R) → R sur le plan projectif réel qui s’en déduit par
passage au quotient. Vérifier que la fonction f est de Morse (et donc que g
aussi), montrer qu’elle a six points critiques (et donc que g en a trois) qui
sont
– deux points d’indice 0, les points (±1, 0, 0), au niveau 0 ;
– deux points d’indice 1, les points (0, ±1, 0), au niveau 1 ;
– deux points d’indice 2, les points (0, 0, ±1), au niveau 2.
La figure 7 représente quelques niveaux de cette fonction sur la sphère.
Le niveau critique contenant les deux points d’indice 1 est formé des deux
cercles intersections de la sphère avec les plans z = ±x.
Exercice 7. Dessiner dans un carré les niveaux de la fonction hauteur sur le
tore « chambre à air » (la réponse figure quelque part dans ce texte).
Exercice 8 (une quadrique projective). On considère la « quadrique » Q de
P
3 (C) définie par l’équation
z
2
0 + z
2
1 + z
2
2 + z
2
3 = 0.