EXERCICES
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Figure 6. Une fonction de Morse sur le tore
Les lecteurs sont invités à vérifier ces assertions (les vérifications sont
directes). La figure 6 représente quelques niveaux de la fonction f sur le tore.
Remarquons que le minimum est au niveau −2, les deux points critiques
d’indice 1 dans le même niveau 0 et le maximum au niveau 2.
Exercices
Exercice 1. Soient U un ouvert de R
n et f : U → R une fonction de
classe C
∞ . Soient V un ouvert de R
n et ϕ : V → U un difféomorphisme.
Calculer (d
2 (f ◦ ϕ)) y (pour y ∈ V ).
Soient M une variété et g : M → R une fonction. Montrer que la forme
bilinéaire (d
2 g) x est bien définie sur le sous-espace vectoriel
Ker(df ) x ⊂ T x M.
Exercice 2. Le fibré cotangent T
V de la variété V est muni de sa structure naturelle de variété (rappelée au chapitre 14). Vérifier que l’on peut
considérer la différentielle df d’une fonction f : V → R comme une section
df : V −→ T
V
de ce fibré cotangent (qui est un plongement de V dans T
V ).
Quels sont les points critiques de f dans ce langage ? Montrer que le
point a est un point critique non dégénéré de f si et seulement si la sousvariété df (V ) est transverse à la section nulle au point considéré.
Montrer qu’un point critique non dégénéré d’une fonction est isolé (sans
utiliser le lemme de Morse !).
Exercice 3 (une selle de singe). On considère la fonction
f : R
2
−→ R
(x, y) −→ x
3
− 3xy
2 .