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CHAPITRE 1. FONCTIONS DE MORSE
min
max
p
indice 1
min
max
indice 1
Figure 5. La fonction distance à p, sur un tore et une sphère
1.4.b. Fonctions hauteur. Les trois fonctions hauteur représentées dans
l’introduction sont des fonctions de Morse
– sur la sphère S
2 , avec deux points critiques, d’indices 0 (le minimum,
pôle sud) et 2 (le maximum, pôle nord) ;
– sur le tore T
2 , avec quatre points critiques, le minimum, le maximum
et deux points critiques intermédiaires, d’indice 1 ;
– sur la sphère S
2 à nouveau, avec quatre points critiques, un minimum,
un point critique d’indice 1 et deux maxima locaux.
Remarque 1.4.2. On peut aussi considérer la hauteur comme la distance à
un point situé à l’infini dans la direction de l’axe des z.
1.4.c. Sur le tore T
2 . Il y a bien d’autres fonctions sur le tore ! Considérons la fonction
f : R
2
−→ R
(x, y) −→ cos(2πx) + cos(2πy)
et la fonction, toujours notée f , qu’elle définit sur le tore T
2 = R
2 /Z
2 . C’est
une fonction produit (comme nous en avons rencontré plus généralement
au § 1.1.b). Celle-ci a quatre points critiques :
– un minimum, le point (
1
2 ,
1
2 ) ;
– deux points critiques d’indice 1, les points (
1
2 , 0) et (0,
1
2 ) ;
– un maximum, le point (0, 0).