1.4. EXEMPLES DE FONCTIONS DE MORSE
15
« définissent
(2) » les manuels de géographie, et, de même, la figure 4 évoque
les courbes de niveau d’une carte de géographie, au voisinage d’un col.
Figure 3. Un point selle
Figure 4. Point critique d’indice 1
1.4. Exemples de fonctions de Morse
Les exemples classiques de fonctions de Morse présentés ici seront utilisés
dans la suite.
1.4.a. La fonction (carré de la) distance à un point. Nous l’avons
dit au 1.2.a, les fonctions f p = x − p
2 sont, en général, des fonctions de
Morse. La figure 5 montre les deux points critiques d’une telle fonction sur
la sphère unité et sur un tore de R
3 .
Remarque 1.4.1. Le seul point pour lequel cette fonction n’est pas de Morse
sur la sphère est le centre de la sphère. Plus généralement, on appelle « points
focaux » de V les points p de R
n pour lesquels la fonction n’est pas de
Morse. Cette terminologie se justifie par le fait qu’en un tel point (pour
une hypersurface), des normales infinitésimalement proches se rencontrent ;
si l’on imagine l’hypersurface comme une source lumineuse et les normales
comme les rayons lumineux qu’elle émet, il y a accumulation d’intensité
lumineuse en ces points, d’où leur nom de foyers, ou de points focaux.
En général, un point d’une sous-variété est critique pour la fonction distance si celle-ci y est tangente (non transverse) à la sphère de centre p
passant par ce point.
(2) Les définitions « passage étroit entre deux montagnes » ou « dépression formant passage
entre deux sommets montagneux », que l’on trouve dans les dictionnaires, ne sont pas
plus précises.
15
« définissent
(2) » les manuels de géographie, et, de même, la figure 4 évoque
les courbes de niveau d’une carte de géographie, au voisinage d’un col.
Figure 3. Un point selle
Figure 4. Point critique d’indice 1
1.4. Exemples de fonctions de Morse
Les exemples classiques de fonctions de Morse présentés ici seront utilisés
dans la suite.
1.4.a. La fonction (carré de la) distance à un point. Nous l’avons
dit au 1.2.a, les fonctions f p = x − p
2 sont, en général, des fonctions de
Morse. La figure 5 montre les deux points critiques d’une telle fonction sur
la sphère unité et sur un tore de R
3 .
Remarque 1.4.1. Le seul point pour lequel cette fonction n’est pas de Morse
sur la sphère est le centre de la sphère. Plus généralement, on appelle « points
focaux » de V les points p de R
n pour lesquels la fonction n’est pas de
Morse. Cette terminologie se justifie par le fait qu’en un tel point (pour
une hypersurface), des normales infinitésimalement proches se rencontrent ;
si l’on imagine l’hypersurface comme une source lumineuse et les normales
comme les rayons lumineux qu’elle émet, il y a accumulation d’intensité
lumineuse en ces points, d’où leur nom de foyers, ou de points focaux.
En général, un point d’une sous-variété est critique pour la fonction distance si celle-ci y est tangente (non transverse) à la sphère de centre p
passant par ce point.
(2) Les définitions « passage étroit entre deux montagnes » ou « dépression formant passage
entre deux sommets montagneux », que l’on trouve dans les dictionnaires, ne sont pas
plus précises.