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CHAPITRE 1. FONCTIONS DE MORSE
Un corollaire immédiat du lemme de Morse est le suivant (voir aussi
l’exercice 2 page 17).
Corollaire 1.3.2. Les points critiques non dégénérés d’une fonction sont
isolés.
En particulier, une fonction de Morse sur une variété compacte a un
nombre fini de points critiques.
L’entier i qui apparaît dans l’énoncé du lemme de Morse est l’indice du
point critique (il ne dépend que du point critique, (n − i, i) est la signature
de la forme quadratique dérivée seconde).
Remarque 1.3.3. Un point critique d’indice i de f est un point critique d’indice n − i de −f .
1.3.b. Exemples de points critiques.
Extrema. Un minimum local d’une fonction de Morse est un point critique
d’indice 0. Les figures représentent un minimum de la fonction hauteur (sur
la variété) et quelques niveaux de la fonction près d’un minimum dans une
carte de Morse.
Figure 1. Un minimum
Figure 2. Point critique d’indice 0
Un maximum local est un point critique d’indice n (la dimension de
la variété). La figure 2 montre aussi bien les niveaux d’une fonction au
voisinage d’un maximum.
Indice 1. Les points critiques d’indice 1 d’une fonction de deux variables
sont ceux que l’on a vu apparaître dans le cas du tore. Ces points sont
appelés des points « selle » ou des « cols ». La figure 3 explique le mot
selle. Le terme de col est bien adapté : la figure 3 évoque bien aussi un
col de montagne, « le point le plus élevé entre deux sommets », comme le