1.3. LE LEMME DE MORSE, INDICE D’UN POINT CRITIQUE
13
le paramètre y varie dans R
n−1 . La formule de Taylor s’écrit maintenant
f (x, y) = f y (0) + f
y (0)x +
1
2
f
y (0)x
2 + x
2 ε(x, y).
Si le terme f
y (0) est nul, continuons comme dans le cas n = 1, puisque
f
y (0) = 0 (sinon il y aurait une colonne nulle dans la matrice des dérivées
secondes de f ) ce qui nous permet d’écrire
f (x, y) = f y (0) ± a(y)x
2 (1 + ε(x, y)) avec a(y) > 0.
L’application
ϕ : (x, y) −→ (x 1 = x
a(y)(1 + ε(x, y)), y 1 = y)
est un difféomorphisme local comme dans le cas n = 1 et, toujours comme
dans ce cas, donne
f ◦ ϕ
−1 (x 1 , y 1 ) = ±x
2
1 + f (0, y 1 )
ce qui permet effectivement de conclure par récurrence.
Montrons donc maintenant qu’il est possible de se ramener au cas où
f
y (0) = 0. Cherchons les points critiques de f y , c’est-à-dire les solutions de
l’équation
∂f
∂x
(x, y) = 0.
Avec nos hypothèses sur (d
2 f ) 0 , nous savons que
∂
2 f
∂x 2 (0, 0) = 0,
de sorte que le théorème des fonctions implicites nous assure que nos solutions, au voisinage de (0, 0), sont les points du graphe x = ϕ(y) d’une
fonction ϕ définie et C
∞ au voisinage de 0 ∈ R
n−1 . Comme nous avons supposé la dérivée seconde diagonale, la dérivée en (0, 0) de ∂f /∂x par rapport
aux variables y est nulle, de sorte que (dϕ) 0 = 0.
Utilisons maintenant le difféomorphisme local (au voisinage de 0)
Φ(x, y) = (x + ϕ(y), y) dont la différentielle en 0 est l’identité. La fonction
f ◦ Φ vérifie
⎧
⎨
⎩
∂
∂x
(f ◦ Φ)(0, y) = 0
d
2 (f ◦ Φ) (0,0) = (d
2 f ) (0,0) .
En intégrant le difféomorphisme local Φ dans la notation, c’est-à-dire en
appelant encore f la fonction f ◦Φ, nous nous sommes ramenés au cas d’une
fonction ayant la propriété voulue. Le lemme de Morse est démontré.
On appelle carte de Morse une carte de la variété dans l’ouvert de laquelle
des coordonnées données par le lemme de Morse sont définies.
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le paramètre y varie dans R
n−1 . La formule de Taylor s’écrit maintenant
f (x, y) = f y (0) + f
y (0)x +
1
2
f
y (0)x
2 + x
2 ε(x, y).
Si le terme f
y (0) est nul, continuons comme dans le cas n = 1, puisque
f
y (0) = 0 (sinon il y aurait une colonne nulle dans la matrice des dérivées
secondes de f ) ce qui nous permet d’écrire
f (x, y) = f y (0) ± a(y)x
2 (1 + ε(x, y)) avec a(y) > 0.
L’application
ϕ : (x, y) −→ (x 1 = x
a(y)(1 + ε(x, y)), y 1 = y)
est un difféomorphisme local comme dans le cas n = 1 et, toujours comme
dans ce cas, donne
f ◦ ϕ
−1 (x 1 , y 1 ) = ±x
2
1 + f (0, y 1 )
ce qui permet effectivement de conclure par récurrence.
Montrons donc maintenant qu’il est possible de se ramener au cas où
f
y (0) = 0. Cherchons les points critiques de f y , c’est-à-dire les solutions de
l’équation
∂f
∂x
(x, y) = 0.
Avec nos hypothèses sur (d
2 f ) 0 , nous savons que
∂
2 f
∂x 2 (0, 0) = 0,
de sorte que le théorème des fonctions implicites nous assure que nos solutions, au voisinage de (0, 0), sont les points du graphe x = ϕ(y) d’une
fonction ϕ définie et C
∞ au voisinage de 0 ∈ R
n−1 . Comme nous avons supposé la dérivée seconde diagonale, la dérivée en (0, 0) de ∂f /∂x par rapport
aux variables y est nulle, de sorte que (dϕ) 0 = 0.
Utilisons maintenant le difféomorphisme local (au voisinage de 0)
Φ(x, y) = (x + ϕ(y), y) dont la différentielle en 0 est l’identité. La fonction
f ◦ Φ vérifie
⎧
⎨
⎩
∂
∂x
(f ◦ Φ)(0, y) = 0
d
2 (f ◦ Φ) (0,0) = (d
2 f ) (0,0) .
En intégrant le difféomorphisme local Φ dans la notation, c’est-à-dire en
appelant encore f la fonction f ◦Φ, nous nous sommes ramenés au cas d’une
fonction ayant la propriété voulue. Le lemme de Morse est démontré.
On appelle carte de Morse une carte de la variété dans l’ouvert de laquelle
des coordonnées données par le lemme de Morse sont définies.