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CHAPITRE 1. FONCTIONS DE MORSE
1.3.a. Le lemme de Morse. Au voisinage d’un point critique, la fonction
est bien approchée par (la moitié de) sa dérivée seconde. Le lemme de Morse
affirme beaucoup mieux : quitte à changer de coordonnées locales, elle lui
est égale.
Théorème 1.3.1 (lemme de Morse). Soit c un point critique non dégénéré de
la fonction f : V → R. Il existe un voisinage U de c et un difféomorphisme
ϕ : (U, c) → (R
n , 0) tels que
f ◦ ϕ
−1 (x 1 , . . . , x n ) = f (c) −
i
j=1
x
2
j +
n
j=i+1
x
2
j .
Démonstration. On peut démontrer ce résultat en utilisant le lemme
d’Hadamard comme le fait Milnor dans [47]. La démonstration que nous
choisissons ici est une application directe du théorème des fonctions
implicites, c’est celle que l’on trouve dans [39]
(1) .
En utilisant une carte, comme le résultat est local, nous supposons que
V = R
n et que le point critique c est 0. En composant par un isomorphisme d’espaces vectoriels, nous supposons en outre que la forme quadratique (d
2 f ) 0 est diagonale.
Nous démontrons le résultat par récurrence sur la dimension. Commençons donc par le cas n = 1, où
f (x) = f (0) +
1
2
f
(0)x
2 + ε(x)x
2
= f (0) ± ax
2 (1 + ε(x))
pour un réel strictement positif a. Posons
x 1 = ϕ(x) = x
a(1 + ε(x)).
Il est clair que ϕ est un difféomorphisme local (puisque ϕ
(0) =
√
a = 0)
ce qui permet d’appliquer le théorème d’inversion locale, de sorte qu’au
voisinage de 0,
f ◦ ϕ
−1 (x 1 ) = f (x) = f (0) ± x
2
1 .
C’est le théorème pour n = 1.
Écrivons ensuite R
n = R × R
n−1 et notons ses points (x, y). Écrivons
f (x, y) = f y (x), considérant ainsi les fonctions de variable réelle f y , quand
(1) L’avantage principal de cette démonstration est qu’elle donne un résultat un peu plus
général que le lemme de Morse : près d’un point critique, une fonction s’écrit comme
somme d’une constante, d’une forme quadratique de rang k ≤ n et d’une fonction des
n − k variables restantes dont toutes les dérivées partielles d’ordre 1 et 2 sont nulles au
point considéré.
CHAPITRE 1. FONCTIONS DE MORSE
1.3.a. Le lemme de Morse. Au voisinage d’un point critique, la fonction
est bien approchée par (la moitié de) sa dérivée seconde. Le lemme de Morse
affirme beaucoup mieux : quitte à changer de coordonnées locales, elle lui
est égale.
Théorème 1.3.1 (lemme de Morse). Soit c un point critique non dégénéré de
la fonction f : V → R. Il existe un voisinage U de c et un difféomorphisme
ϕ : (U, c) → (R
n , 0) tels que
f ◦ ϕ
−1 (x 1 , . . . , x n ) = f (c) −
i
j=1
x
2
j +
n
j=i+1
x
2
j .
Démonstration. On peut démontrer ce résultat en utilisant le lemme
d’Hadamard comme le fait Milnor dans [47]. La démonstration que nous
choisissons ici est une application directe du théorème des fonctions
implicites, c’est celle que l’on trouve dans [39]
(1) .
En utilisant une carte, comme le résultat est local, nous supposons que
V = R
n et que le point critique c est 0. En composant par un isomorphisme d’espaces vectoriels, nous supposons en outre que la forme quadratique (d
2 f ) 0 est diagonale.
Nous démontrons le résultat par récurrence sur la dimension. Commençons donc par le cas n = 1, où
f (x) = f (0) +
1
2
f
(0)x
2 + ε(x)x
2
= f (0) ± ax
2 (1 + ε(x))
pour un réel strictement positif a. Posons
x 1 = ϕ(x) = x
a(1 + ε(x)).
Il est clair que ϕ est un difféomorphisme local (puisque ϕ
(0) =
√
a = 0)
ce qui permet d’appliquer le théorème d’inversion locale, de sorte qu’au
voisinage de 0,
f ◦ ϕ
−1 (x 1 ) = f (x) = f (0) ± x
2
1 .
C’est le théorème pour n = 1.
Écrivons ensuite R
n = R × R
n−1 et notons ses points (x, y). Écrivons
f (x, y) = f y (x), considérant ainsi les fonctions de variable réelle f y , quand
(1) L’avantage principal de cette démonstration est qu’elle donne un résultat un peu plus
général que le lemme de Morse : près d’un point critique, une fonction s’écrit comme
somme d’une constante, d’une forme quadratique de rang k ≤ n et d’une fonction des
n − k variables restantes dont toutes les dérivées partielles d’ordre 1 et 2 sont nulles au
point considéré.