1.3. LE LEMME DE MORSE, INDICE D’UN POINT CRITIQUE
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Proposition 1.2.4. Soit V une variété qui peut être plongée comme sousvariété dans un espace R
n et soit f : V → R une fonction C
∞ . Soit k
un entier. Alors f peut être approchée, uniformément sur tout compact,
ainsi que toutes ses dérivées d’ordre ≤ k, par des fonctions de Morse.
Démonstration. Fixons un nombre réel c (avec vocation à être assez grand).
Choisissons un plongement de V dans R
n pour un n assez grand, de façon que la première coordonnée soit la fonction f (il suffit d’ajouter cette
coordonnée à un plongement dans un espace de dimension R
n−1 ),
h(x) = (f (x), h 2 (x), . . . , h n (x)).
D’après la proposition 1.2.1, pour presque tout point
p = (−c + ε 1 , ε 2 , . . . , ε n )
proche de (−c, 0 . . . , 0), la fonction f p est de Morse. Alors
g(x) =
f p (x) − c
2
2c
est évidemment de Morse elle aussi. De plus,
g(x) =
1
2c
(f (x) + c − ε 1 )
2 + (h 2 (x) − ε 2 )
2 + · · · + (h n (x) − ε n )
2
− c
2
= f (x) +
f (x)
2 +
h i (x)
2
2c
−
ε 1 f (x) +
ε i h i (x)
c
+
ε
2
i − ε 1 ,
ce qui montre (avec c assez grand et les ε i assez petits), que g approche f
uniformément sur les compacts comme annoncé.
Sans plonger la variété V et en utilisant la transversalité, il est possible
de démontrer :
Théorème 1.2.5. Soit V une variété compacte. L’ensemble des fonctions de
Morse sur V est un ouvert dense de C
∞ (V ; R).
On trouvera (si besoin, la définition de C
∞ (V ; R) au § 14.3.b et) une
démonstration (utilisant la « transversalité sous contrainte ») dans l’exercice 9 page 19.
1.3. Le lemme de Morse, indice d’un point critique
Décrivons ici ce qui se passe près d’un point critique d’une fonction de
Morse.